Agar jumlah deret geometri (x-1)/x, 1/x, 1/(x(x-1)), ....

$x < 0$ atau $x > 2$

Pembahasan

Deret geometri yang diberikan adalah $\frac{x-1}{x}, \frac{1}{x}, \frac{1}{x(x-1)}, \dots$

Untuk menentukan agar jumlah deret geometri tak hingga ini mempunyai limit (konvergen), rasio deret tersebut harus memiliki nilai absolut kurang dari 1, yaitu $|r| < 1$.

Rasio (r) dari deret geometri adalah suku kedua dibagi suku pertama, atau suku ketiga dibagi suku kedua.

$r = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x-1}{x}} = \frac{1}{x} \times \frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$

Kita juga bisa cek dengan suku ketiga dan kedua:
$r = \frac{\frac{1}{x(x-1)}}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x(x-1)} \times \frac{x}{1} = \frac{1}{x-1}$

Jadi, rasio deretnya adalah $r = \frac{1}{x-1}$.

Agar deret konvergen, $|r| < 1$, sehingga:
$|\frac{1}{x-1}| < 1$

Ini berarti:
$-1 < \frac{1}{x-1} < 1$

Kita perlu menyelesaikan dua pertidaksamaan:
1. $\frac{1}{x-1} < 1$
   $\frac{1}{x-1} - 1 < 0$
   $\frac{1 - (x-1)}{x-1} < 0$
   $\frac{2-x}{x-1} < 0$
   Agar hasil bagi negatif, pembilang dan penyebut harus berbeda tanda.
   Kasus 1a: $2-x > 0$ dan $x-1 < 0$. Maka $x < 2$ dan $x < 1$. Irisannya adalah $x < 1$.
   Kasus 1b: $2-x < 0$ dan $x-1 > 0$. Maka $x > 2$ dan $x > 1$. Irisannya adalah $x > 2$.
   Jadi, solusi untuk pertidaksamaan pertama adalah $x < 1$ atau $x > 2$.

2. $\frac{1}{x-1} > -1$
   $\frac{1}{x-1} + 1 > 0$
   $\frac{1 + (x-1)}{x-1} > 0$
   $\frac{x}{x-1} > 0$
   Agar hasil bagi positif, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama.
   Kasus 2a: $x > 0$ dan $x-1 > 0$. Maka $x > 0$ dan $x > 1$. Irisannya adalah $x > 1$.
   Kasus 2b: $x < 0$ dan $x-1 < 0$. Maka $x < 0$ dan $x < 1$. Irisannya adalah $x < 0$.
   Jadi, solusi untuk pertidaksamaan kedua adalah $x < 0$ atau $x > 1$.

Sekarang kita gabungkan solusi dari kedua pertidaksamaan tersebut:
Solusi 1: ($x < 1$ atau $x > 2$)
Solusi 2: ($x < 0$ atau $x > 1$)

Irisan dari kedua solusi ini adalah:
- $x < 1$ (dari Solusi 1) dan ($x < 0$ atau $x > 1$) (dari Solusi 2). Irisannya adalah $x < 0$.
- $x > 2$ (dari Solusi 1) dan ($x < 0$ atau $x > 1$) (dari Solusi 2). Irisannya adalah $x > 2$.

Jadi, nilai x yang memenuhi agar jumlah deret geometri mempunyai limit adalah $x < 0$ atau $x > 2$.