Akar-akar persamaan x^3-14x^2+ ax + b = 0 membentuk deret

a = 56, b = -64, akar = 8, 4, 2

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan x^3 - 14x^2 + ax + b = 0 adalah p, pr, dan pr^2, di mana r adalah rasio deret geometri.
Dari Vieta's formulas:
1. Jumlah akar-akar: p + pr + pr^2 = -(-14)/1 = 14
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: p(pr) + p(pr^2) + pr(pr^2) = a/1 = a
   p^2r + p^2r^2 + p^2r^3 = a
   p^2r(1 + r + r^2) = a
3. Hasil kali akar-akar: p * pr * pr^2 = -b/1 = -b
   p^3r^3 = -b
   (pr)^3 = -b
Diketahui rasio r = 1/2.
Dari (1): p + p(1/2) + p(1/2)^2 = 14 => p + p/2 + p/4 = 14
Kalikan dengan 4: 4p + 2p + p = 56 => 7p = 56 => p = 8.
Jadi, salah satu akarnya adalah 8.
Akar-akar lainnya adalah pr = 8(1/2) = 4, dan pr^2 = 8(1/2)^2 = 8(1/4) = 2.
Akar-akarnya adalah 8, 4, dan 2.
Sekarang kita cari nilai a dan b:
Dari (3): (pr)^3 = -b => (4)^3 = -b => 64 = -b => b = -64.
Dari (2): a = p^2r(1 + r + r^2) = 8^2(1/2)(1 + 1/2 + (1/2)^2)
         a = 64(1/2)(1 + 1/2 + 1/4)
         a = 32(4/4 + 2/4 + 1/4)
         a = 32(7/4)
         a = 8 * 7
         a = 56.
Jadi, nilai a = 56, b = -64, dan akar-akarnya adalah 8, 4, dan 2.