Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen: 6 .

Himpunan penyelesaiannya adalah {$-$\log_3(2)$}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial $6 \cdot (9^x) + 3^x - 2 = 0$, kita dapat melakukan substitusi untuk menyederhanakannya. Perhatikan bahwa $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.
Misalkan $y = 3^x$. Maka persamaan tersebut menjadi:
$6 \cdot (y^2) + y - 2 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk $ay^2 + by + c = 0$, dengan $a=6$, $b=1$, dan $c=-2$. Kita dapat menyelesaikannya dengan faktorisasi atau rumus kuadrat.

Menggunakan faktorisasi:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $a \cdot c = 6 \cdot (-2) = -12$ dan jika dijumlahkan menghasilkan $b = 1$. Bilangan tersebut adalah 4 dan -3.
$6y^2 + 4y - 3y - 2 = 0$
$2y(3y + 2) - 1(3y + 2) = 0$
$(2y - 1)(3y + 2) = 0$

Dari sini kita dapatkan dua kemungkinan nilai y:
$2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y = 1/2$
$3y + 2 = 0 \implies 3y = -2 \implies y = -2/3$

Sekarang kita kembali ke substitusi awal, yaitu $y = 3^x$.
Kasus 1: $y = 1/2$
$3^x = 1/2$
Untuk menyelesaikan x, kita gunakan logaritma:
$x = \log_3(1/2)$
$x = \log_3(2^{-1})$
$x = -\log_3(2)$

Kasus 2: $y = -2/3$
$3^x = -2/3$
Karena basis eksponensial (3) adalah positif, hasil dari $3^x$ selalu positif untuk setiap nilai x real. Oleh karena itu, tidak ada solusi real untuk $3^x = -2/3$.

Jadi, satu-satunya solusi real untuk persamaan eksponen tersebut adalah $x = -\log_3(2)$.
Himpunan penyelesaiannya adalah {$-$\log_3(2)$}.