Akar-akar persamaan x^3-4x^2+x-4=0 adalah x1, x2, dan x3.

Nilai x₁² + x₂² + x₃² adalah 14.

Pembahasan

Soal ini adalah tentang mencari nilai dari jumlah kuadrat akar-akar persamaan polinomial derajat tiga. Persamaan yang diberikan adalah x³ - 4x² + x - 4 = 0.

Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah x₁, x₂, dan x₃.
Menurut Teorema Vieta untuk persamaan polinomial derajat tiga (ax³ + bx² + cx + d = 0), berlaku hubungan:

1. Jumlah akar-akar:
x₁ + x₂ + x₃ = -b/a
2. Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan:
x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = c/a
3. Hasil kali akar-akar:
x₁x₂x₃ = -d/a

Dalam persamaan x³ - 4x² + x - 4 = 0:
a = 1
b = -4
c = 1
d = -4

Mari kita hitung nilai dari setiap hubungan Vieta:
1. x₁ + x₂ + x₃ = -(-4)/1 = 4
2. x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 1/1 = 1
3. x₁x₂x₃ = -(-4)/1 = 4

Kita diminta untuk mencari nilai dari x₁² + x₂² + x₃². Kita bisa menggunakan identitas aljabar:
(x₁ + x₂ + x₃)² = x₁² + x₂² + x₃² + 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

Dengan mengatur ulang rumus tersebut untuk mencari jumlah kuadrat akar-akar:
x₁² + x₂² + x₃² = (x₁ + x₂ + x₃)² - 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai yang sudah kita hitung:
x₁² + x₂² + x₃² = (4)² - 2(1)
x₁² + x₂² + x₃² = 16 - 2
x₁² + x₂² + x₃² = 14

Jadi, nilai dari x₁² + x₂² + x₃² adalah 14.