alpha, beta, dan gamma merupakan akar-akar persamaan x^3

Akar terkecil adalah 2.

Pembahasan

Diketahui persamaan kubik x^3 -12x^2 + 44x +t = 0 dengan akar-akar alpha, beta, dan gamma.
Menurut teorema Vieta, untuk persamaan kubik ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, berlaku:
Jumlah akar: alpha + beta + gamma = -b/a
Jumlah hasil kali akar berpasangan: alpha*beta + alpha*gamma + beta*gamma = c/a
Hasil kali akar: alpha*beta*gamma = -d/a

Untuk persamaan x^3 -12x^2 + 44x +t = 0, kita punya a=1, b=-12, c=44, d=t.
Maka:
1. alpha + beta + gamma = -(-12)/1 = 12
2. alpha*beta + alpha*gamma + beta*gamma = 44/1 = 44
3. alpha*beta*gamma = -t/1 = -t

Diketahui juga bahwa alpha = beta + gamma.
Kita substitusikan informasi ini ke persamaan jumlah akar (1):
alpha + (beta + gamma) = 12
alpha + alpha = 12
2*alpha = 12
alpha = 6

Sekarang kita tahu salah satu akar adalah 6. Karena alpha adalah akar, maka jika kita substitusikan x=6 ke dalam persamaan, hasilnya harus 0:
(6)^3 - 12*(6)^2 + 44*(6) + t = 0
216 - 12*(36) + 264 + t = 0
216 - 432 + 264 + t = 0
480 - 432 + t = 0
48 + t = 0
t = -48

Persamaan lengkapnya adalah x^3 -12x^2 + 44x - 48 = 0.
Kita sudah tahu salah satu akarnya adalah 6. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau sintetik untuk mencari akar lainnya.

Menggunakan pembagian sintetik dengan akar 6:
   6 | 1  -12   44  -48
     |    6  -36   48
     ------------------
       1   -6    8    0

Hasil pembagiannya adalah x^2 - 6x + 8 = 0.
Kita faktorkan persamaan kuadrat ini:
(x - 2)(x - 4) = 0
Maka, akar-akar lainnya adalah x = 2 dan x = 4.

Akar-akar persamaan tersebut adalah 6, 2, dan 4.
Kita perlu mencari akar terkecil.
Akar terkecil adalah 2.