Penyelesaian dari pertidaksamaan: 2log(x-3)+2log(x+3)>=4

Penyelesaiannya adalah x ≥ √109.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma 2log(x-3) + 2log(x+3) ≥ 4, kita perlu mengikuti beberapa langkah:

1.  **Tentukan syarat numerus (argumen logaritma) agar terdefinisi:**
    Agar logaritma terdefinisi, argumennya harus positif.
    *   x - 3 > 0  =>  x > 3
    *   x + 3 > 0  =>  x > -3
    Irisan dari kedua syarat ini adalah x > 3.

2.  **Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan pertidaksamaan:**
    Sifat logaritma yang relevan di sini adalah:
    *   n log(a) = log(a^n)
    *   log(a) + log(b) = log(a*b)
    *   Jika log_b(a) ≥ log_b(c) dan b > 1, maka a ≥ c.

    Pertidaksamaan awal:
    2log(x-3) + 2log(x+3) ≥ 4

    Terapkan sifat n log(a) = log(a^n):
    log((x-3)²) + log((x+3)²) ≥ 4

    Terapkan sifat log(a) + log(b) = log(a*b):
    log[ (x-3)² * (x+3)² ] ≥ 4

    Kita bisa menyederhanakan bagian dalam logaritma:
    (x-3)² * (x+3)² = [ (x-3)(x+3) ]²
    Ingat selisih kuadrat: (a-b)(a+b) = a² - b²
    Jadi, [ (x-3)(x+3) ]² = [ x² - 9 ]²

Pertidaksamaan menjadi:
log( [x² - 9]² ) ≥ 4

Asumsikan basis logaritma adalah 10 (jika tidak dituliskan, biasanya basisnya 10).
log₁₀( [x² - 9]² ) ≥ 4

Ubah bentuk 4 menjadi logaritma basis 10:
4 = log₁₀(10⁴) = log₁₀(10000)

Jadi, pertidaksamaannya menjadi:
log₁₀( [x² - 9]² ) ≥ log₁₀(10000)

Karena basis logaritma (10) lebih besar dari 1, kita bisa menghilangkan logaritma dan mempertahankan tanda pertidaksamaan:
[x² - 9]² ≥ 10000

Sekarang kita selesaikan pertidaksamaan kuadrat ini:
(x² - 9)² - 10000 ≥ 0

Ini adalah bentuk selisih kuadrat a² - b², di mana a = (x² - 9) dan b = 100.
( (x² - 9) - 100 ) * ( (x² - 9) + 100 ) ≥ 0
(x² - 109) * (x² + 91) ≥ 0

Kita perlu mencari akar-akar dari setiap faktor:
*   Untuk x² - 109 = 0  =>  x² = 109  =>  x = ±√109
    √109 kira-kira √100 = 10, jadi sekitar 10.44

*   Untuk x² + 91 = 0  =>  x² = -91. Persamaan ini tidak memiliki solusi riil karena kuadrat bilangan riil tidak pernah negatif.

Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan faktor (x² - 109) ≥ 0.
Ini berarti x² ≥ 109.
Solusinya adalah x ≤ -√109 atau x ≥ √109.

3.  **Gabungkan dengan syarat numerus:**
    Kita punya syarat awal bahwa x > 3.
    Kita juga punya solusi dari pertidaksamaan logaritma: x ≤ -√109 atau x ≥ √109.

    Mari kita lihat irisannya:
    *   x > 3
    *   x ≥ √109 (√109 ≈ 10.44)
    *   x ≤ -√109 (x ≤ -10.44)

    Irisan dari x > 3 dan x ≥ √109 adalah x ≥ √109.
    Irisan dari x > 3 dan x ≤ -√109 adalah tidak ada (kosong), karena √109 positif dan -√109 negatif.

    Jadi, penyelesaian akhir dari pertidaksamaan tersebut adalah x ≥ √109.