alpha dan beta merupakan akar-akar persamaan 1/(x^2-10x-29)

Nilai alpha + beta adalah 10.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah:
1/(x^2-10x-29) + 1/(x^2-10x-45) = 2/(x^2-10x-69)
Misalkan y = x^2 - 10x. Maka persamaan menjadi:
1/(y-29) + 1/(y-45) = 2/(y-69)
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita samakan penyebut di sisi kiri:
[(y-45) + (y-29)] / [(y-29)(y-45)] = 2/(y-69)
(2y - 74) / (y^2 - 45y - 29y + 1305) = 2/(y-69)
(2y - 74) / (y^2 - 74y + 1305) = 2/(y-69)
(2(y - 37)) / (y^2 - 74y + 1305) = 2/(y-69)
Kita bisa membagi kedua sisi dengan 2:
(y - 37) / (y^2 - 74y + 1305) = 1/(y-69)
Sekarang, kita lakukan perkalian silang:
(y - 37)(y - 69) = y^2 - 74y + 1305
y^2 - 69y - 37y + 2553 = y^2 - 74y + 1305
y^2 - 106y + 2553 = y^2 - 74y + 1305
Kurangi y^2 dari kedua sisi:
-106y + 2553 = -74y + 1305
Pindahkan suku-suku y ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
2553 - 1305 = -74y + 106y
1248 = 32y
y = 1248 / 32
y = 39
Sekarang kita substitusikan kembali y = x^2 - 10x:
x^2 - 10x = 39
x^2 - 10x - 39 = 0
Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0, di mana a=1, b=-10, dan c=-39.
Menurut Vieta, jika alpha dan beta adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka jumlah akar-akarnya (alpha + beta) adalah -b/a.
alpha + beta = -(-10)/1
alpha + beta = 10
Jadi, nilai dari alpha + beta adalah 10.