Apakah relasi di bawah ini merupakan relasi transitif di

Kedua relasi tidak transitif.

Pembahasan

Relasi transitif adalah relasi R pada himpunan A sedemikian sehingga jika $(a,b) \in R$ dan $(b,c) \in R$, maka $(a,c) \in R$. Kita akan memeriksa kedua relasi:

a. $R = \{(1,2), (4,3), (2,2), (2,1), (3,1)\}$ pada $B = \{1,2,3,4\}$.
Kita cari pasangan $(a,b)$ dan $(b,c)$:
- $(1,2) \in R$ dan $(2,1) \in R$, maka kita perlu $(1,1) \in R$. Ternyata $(1,1) \notin R$. Oleh karena itu, relasi ini tidak transitif.
- $(1,2) \in R$ dan $(2,2) \in R$, maka kita perlu $(1,2) \in R$. Ini terpenuhi.
- $(4,3) \in R$ dan $(3,1) \in R$, maka kita perlu $(4,1) \in R$. Ternyata $(4,1) \notin R$. Oleh karena itu, relasi ini tidak transitif.

b. $R = \{(2,2), (2,3), (1,4), (3,2)\}$ pada $B = \{1,2,3,4\}$.
Kita cari pasangan $(a,b)$ dan $(b,c)$:
- $(2,2) \in R$ dan $(2,3) \in R$, maka kita perlu $(2,3) \in R$. Ini terpenuhi.
- $(2,3) \in R$ dan $(3,2) \in R$, maka kita perlu $(2,2) \in R$. Ini terpenuhi.
- $(1,4) \in R$. Tidak ada pasangan yang dimulai dengan 4, jadi tidak bisa dicek.
- $(3,2) \in R$ dan $(2,2) \in R$, maka kita perlu $(3,2) \in R$. Ini terpenuhi.
- $(3,2) \in R$ dan $(2,3) \in R$, maka kita perlu $(3,3) \in R$. Ternyata $(3,3) \notin R$. Oleh karena itu, relasi ini tidak transitif.