Setelah t s, banyak air yang keluar dari suatu tangki

Debit pada t=10s adalah 8000 liter/sekon. Rata-rata debit selama 10s pertama adalah $\frac{380000}{3}$ liter/sekon.

Pembahasan

Diketahui banyak air yang keluar dari tangki setelah t detik adalah $Q(t) = 200(30-t)^2$ liter.

1. Debit air keluarnya air pada saat t=10 s.
Debit adalah turunan pertama dari fungsi volume terhadap waktu, yaitu $Q'(t)$.
$Q(t) = 200(30-t)^2$
Menggunakan aturan rantai, $Q'(t) = 200 \times 2(30-t)^{2-1} \times (-1)$
$Q'(t) = -400(30-t)$

Untuk mencari debit pada saat $t=10$ s, substitusikan $t=10$ ke dalam $Q'(t)$:
$Q'(10) = -400(30-10)$
$Q'(10) = -400(20)$
$Q'(10) = -8000$ liter/sekon.

Nilai negatif menunjukkan bahwa air keluar dari tangki. Jadi, debit air keluarnya adalah 8000 liter/sekon.

2. Rata-rata banyak air yang keluar selama 10 s pertama.
Untuk mencari rata-rata banyak air yang keluar selama 10 detik pertama, kita perlu menghitung integral dari $Q(t)$ dari $t=0$ sampai $t=10$, kemudian membaginya dengan selang waktu (10 detik).
Rata-rata debit = $\frac{1}{10-0} \int_{0}^{10} 200(30-t)^2 dt$

Integralkan $200(30-t)^2$: Misalkan $u = 30-t$, maka $du = -dt$ atau $dt = -du$.
$\int 200(30-t)^2 dt = \int 200 u^2 (-du) = -200 \int u^2 du = -200 \frac{u^3}{3} + C = -\frac{200}{3}(30-t)^3 + C$.

Sekarang, hitung integral tentu:
$\int_{0}^{10} 200(30-t)^2 dt = [-\frac{200}{3}(30-t)^3]_{0}^{10}$
$= -\frac{200}{3}(30-10)^3 - (-\frac{200}{3}(30-0)^3)$
$= -\frac{200}{3}(20)^3 + \frac{200}{3}(30)^3$
$= -\frac{200}{3}(8000) + \frac{200}{3}(27000)$
$= \frac{200}{3}(-8000 + 27000)$
$= \frac{200}{3}(19000)$
$= \frac{3800000}{3}$ liter.

Rata-rata banyak air yang keluar = $\frac{1}{10} \times \frac{3800000}{3} = \frac{380000}{3}$ liter/sekon.
$\frac{380000}{3} \approx 126666.67$ liter/sekon.