Kelas 12Kelas 11mathPolinomial
Banyak akar bulat persamaan polinomial
Pertanyaan
Berapa banyak akar bulat dari persamaan polinomial 4x^4+8x^3-3x^2-7x-2=0?
Solusi
Verified
Terdapat 2 akar bulat, yaitu 1 dan -2.
Pembahasan
Untuk mencari akar bulat dari persamaan polinomial 4x^4 + 8x^3 - 3x^2 - 7x - 2 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki akar rasional p/q (dimana p dan q adalah bilangan bulat, q tidak sama dengan 0, dan p serta q koprima), maka p haruslah merupakan faktor dari konstanta terakhir (dalam hal ini -2), dan q haruslah merupakan faktor dari koefisien utama (dalam hal ini 4). Faktor dari konstanta -2 (p) adalah: ±1, ±2. Faktor dari koefisien utama 4 (q) adalah: ±1, ±2, ±4. Kemungkinan akar rasional (p/q) adalah: ±1/1, ±2/1, ±1/2, ±2/2, ±1/4, ±2/4 Sederhanakan menjadi: ±1, ±2, ±1/2, ±1/4 Sekarang kita uji nilai-nilai bulat dari kemungkinan akar rasional tersebut (±1, ±2) ke dalam persamaan: Uji x = 1: 4(1)^4 + 8(1)^3 - 3(1)^2 - 7(1) - 2 = 4 + 8 - 3 - 7 - 2 = 0. Jadi, x = 1 adalah akar. Uji x = -1: 4(-1)^4 + 8(-1)^3 - 3(-1)^2 - 7(-1) - 2 = 4(1) + 8(-1) - 3(1) - 7(-1) - 2 = 4 - 8 - 3 + 7 - 2 = -2. Jadi, x = -1 bukan akar. Uji x = 2: 4(2)^4 + 8(2)^3 - 3(2)^2 - 7(2) - 2 = 4(16) + 8(8) - 3(4) - 14 - 2 = 64 + 64 - 12 - 14 - 2 = 100. Jadi, x = 2 bukan akar. Uji x = -2: 4(-2)^4 + 8(-2)^3 - 3(-2)^2 - 7(-2) - 2 = 4(16) + 8(-8) - 3(4) + 14 - 2 = 64 - 64 - 12 + 14 - 2 = 0. Jadi, x = -2 adalah akar. Karena kita sudah menemukan dua akar bulat (1 dan -2), kita bisa membagi polinomial dengan (x-1) dan (x+2) atau (x^2 + x - 2) untuk mendapatkan polinomial derajat lebih rendah. Mari kita gunakan pembagian sintetik atau pembagian biasa. Jika kita membagi P(x) dengan (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2: ``` 4x^2 + 4x + 1 ________________ x^2+x-2 | 4x^4 + 8x^3 - 3x^2 - 7x - 2 -(4x^4 + 4x^3 - 8x^2) ________________ 4x^3 + 5x^2 - 7x -(4x^3 + 4x^2 - 8x) ________________ x^2 + x - 2 -(x^2 + x - 2) ____________ 0 ``` Polinomial yang tersisa adalah 4x^2 + 4x + 1. Kita cari akar dari persamaan kuadrat ini: 4x^2 + 4x + 1 = 0 Ini adalah kuadrat sempurna: (2x + 1)^2 = 0 Maka, 2x + 1 = 0 x = -1/2. Jadi, akar-akar persamaan polinomial tersebut adalah 1, -2, -1/2, dan -1/2. Akar bulatnya adalah 1 dan -2. Banyak akar bulat persamaan polinomial 4x^4+8x^3-3x^2-7x-2=0 adalah 2.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Akar Persamaan Polinomial, Teorema Akar Rasional
Section: Pembagian Polinomial, Akar Bulat Dan Rasional
Apakah jawaban ini membantu?