Batas nilai x yang memenuhi sistem pertidaksamaan

1 < x < 11

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan $\{y > x^2 - 11x + 11, y < x\}$, kita perlu mencari nilai-nilai x di mana grafik parabola $y = x^2 - 11x + 11$ berada di bawah garis $y = x$.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1.  **Cari titik potong kedua fungsi:** Kita setelkan kedua persamaan sama dengan nol untuk mencari titik potongnya.
    $ x^2 - 11x + 11 = x $
    $ x^2 - 11x - x + 11 = 0 $
    $ x^2 - 12x + 11 = 0 $

2.  **Faktorkan persamaan kuadrat:** Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 11 dan jika dijumlahkan menghasilkan -12. Bilangan tersebut adalah -1 dan -11.
    $ (x - 1)(x - 11) = 0 $

3.  **Tentukan nilai x:** Dari pemfaktoran, kita dapatkan:
    $ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 $
    $ x - 11 = 0 \Rightarrow x = 11 $

4.  **Analisis pertidaksamaan:** Kita memiliki $y > x^2 - 11x + 11$ dan $y < x$. Ini berarti kita mencari daerah di mana nilai y dari parabola lebih kecil dari nilai y dari garis, dan nilai y dari garis lebih besar dari nilai y dari parabola. Secara grafis, ini adalah daerah di antara kedua kurva tersebut.

    Karena kita mencari nilai x di mana parabola berada di bawah garis, kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh titik potong (x=1 dan x=11).

    *   Ambil nilai uji di antara 1 dan 11, misalnya x = 5:
        Parabola: $ y = 5^2 - 11(5) + 11 = 25 - 55 + 11 = -19 $
        Garis: $ y = 5 $
        Karena -19 < 5, maka pada interval ini, parabola berada di bawah garis.

    *   Ambil nilai uji di bawah 1, misalnya x = 0:
        Parabola: $ y = 0^2 - 11(0) + 11 = 11 $
        Garis: $ y = 0 $
        Karena 11 > 0, maka pada interval ini, parabola berada di atas garis.

    *   Ambil nilai uji di atas 11, misalnya x = 12:
        Parabola: $ y = 12^2 - 11(12) + 11 = 144 - 132 + 11 = 23 $
        Garis: $ y = 12 $
        Karena 23 > 12, maka pada interval ini, parabola berada di atas garis.

5.  **Kesimpulan:** Sistem pertidaksamaan $\{y > x^2 - 11x + 11, y < x\}$ terpenuhi ketika nilai x berada di antara titik potong 1 dan 11, di mana nilai parabola lebih kecil dari nilai garis.

Batas nilai x yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah $1 < x < 11$.