Batasan nilai a agar garis y-2=ax dan lingkaran x^2+y^2=1

\(a \le -\sqrt{3}\) atau \(a \ge \sqrt{3}\)

Pembahasan

Untuk menentukan batasan nilai \(a\) agar garis \(y - 2 = ax\) dan lingkaran \(x^2 + y^2 = 1\) berpotongan, kita perlu mencari kondisi di mana sistem persamaan tersebut memiliki solusi real.

Persamaan garis dapat ditulis ulang sebagai \(y = ax + 2\).
Substitusikan persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran:
\(x^2 + (ax + 2)^2 = 1\)
\(x^2 + (a^2x^2 + 4ax + 4) = 1\)
\((1 + a^2)x^2 + 4ax + 4 - 1 = 0\)
\((1 + a^2)x^2 + 4ax + 3 = 0\)

Agar garis dan lingkaran berpotongan, persamaan kuadrat dalam \(x\) ini harus memiliki setidaknya satu solusi real. Ini berarti diskriminan (D) harus lebih besar dari atau sama dengan nol.

Diskriminan:\(D = b^2 - 4ac\)
Dalam kasus ini, \(a = (1 + a^2)\), \(b = 4a\), dan \(c = 3\).

\(D = (4a)^2 - 4(1 + a^2)(3)\)
\(D = 16a^2 - 12(1 + a^2)\)
\(D = 16a^2 - 12 - 12a^2\)
\(D = 4a^2 - 12\)

Agar berpotongan, \(D \ge 0\):
\(4a^2 - 12 \ge 0\)
\(4a^2 \ge 12\)
\(a^2 \ge 3\)

Ini berarti \(a \le -\sqrt{3}\) atau \(a \ge \sqrt{3}\).

Jadi, batasan nilai \(a\) agar garis \(y - 2 = ax\) dan lingkaran \(x^2 + y^2 = 1\) saling berpotongan adalah \(a \le -\sqrt{3}\) atau \(a \ge \sqrt{3}\).