Bayangan titik (8,-4) oleh rotasi sejauh 25 berlawanan arah

(6√2, 2√2) atau sekitar (8.485, 2.828)

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan titik setelah dua rotasi berurutan, kita perlu mengaplikasikan transformasi rotasi satu per satu.

Titik awal: P(8, -4).

Rotasi pertama: Sejauh 25 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik asal (0,0).
Rumus rotasi sebesar $\theta$ berlawanan arah jarum jam adalah:
x' = x cos $\theta$ - y sin $\theta$
y' = x sin $\theta$ + y cos $\theta$

Di sini, $\theta = 25^\circ$.

x1 = 8 cos(25°) - (-4) sin(25°) = 8 cos(25°) + 4 sin(25°)
y1 = 8 sin(25°) + (-4) cos(25°) = 8 sin(25°) - 4 cos(25°)

Mari kita hitung nilai cos(25°) dan sin(25°):
cos(25°) ≈ 0.9063
sin(25°) ≈ 0.4226

x1 ≈ 8(0.9063) + 4(0.4226) ≈ 7.2504 + 1.6904 ≈ 8.9408
y1 ≈ 8(0.4226) - 4(0.9063) ≈ 3.3808 - 3.6252 ≈ -0.2444

Jadi, setelah rotasi pertama, titiknya adalah P'(8.9408, -0.2444).

Rotasi kedua: Sejauh 20 derajat berlawanan arah putaran jarum jam terhadap titik asal (0,0).
Sekarang, titik P'(8.9408, -0.2444) akan dirotasi sebesar $\theta = 20^\circ$.

x2 = x1 cos(20°) - y1 sin(20°)
y2 = x1 sin(20°) + y1 cos(20°)

Mari kita hitung nilai cos(20°) dan sin(20°):
cos(20°) ≈ 0.9397
sin(20°) ≈ 0.3420

x2 ≈ 8.9408(0.9397) - (-0.2444)(0.3420) ≈ 8.3984 + 0.0836 ≈ 8.482
y2 ≈ 8.9408(0.3420) + (-0.2444)(0.9397) ≈ 3.0578 - 0.2297 ≈ 2.8281

Jadi, bayangan titik akhir adalah sekitar (8.482, 2.8281).

Alternatif lain adalah menjumlahkan sudut rotasi terlebih dahulu jika rotasinya terhadap titik yang sama.
Total rotasi = 25° + 20° = 45° berlawanan arah putaran jarum jam.

x' = 8 cos(45°) - (-4) sin(45°) = 8(√2/2) + 4(√2/2) = 4√2 + 2√2 = 6√2
y' = 8 sin(45°) + (-4) cos(45°) = 8(√2/2) - 4(√2/2) = 4√2 - 2√2 = 2√2

Jadi, bayangan titiknya adalah (6√2, 2√2).

Nilai numerik:
6√2 ≈ 6 * 1.414 = 8.484
2√2 ≈ 2 * 1.414 = 2.828

Hasilnya konsisten dengan perhitungan bertahap.