Kelas 11Kelas 10mathTrigonometri
Bentuk (akar(3) sin x-cos x) yang dapat diubah menjadi
Pertanyaan
Bentuk (akar(3) sin x - cos x) yang dapat diubah menjadi bentuk k cos(x-a) adalah ...
Solusi
Verified
Bentuk (√3 sin x - cos x) dapat diubah menjadi 2 cos(x - 120°).
Pembahasan
Untuk mengubah bentuk (√3 sin x - cos x) menjadi bentuk k cos(x - a), kita perlu menggunakan identitas trigonometri. Bentuk umum yang ingin dicapai adalah k cos(x - a) = k (cos x cos a + sin x sin a). Mari kita bandingkan koefisien dari sin x dan cos x: √3 sin x - 1 cos x = (k sin a) sin x + (k cos a) cos x Dari sini, kita dapatkan dua persamaan: 1. k sin a = √3 2. k cos a = -1 Untuk mencari nilai k, kita kuadratkan kedua persamaan dan menjumlahkannya: (k sin a)² + (k cos a)² = (√3)² + (-1)² k² sin² a + k² cos² a = 3 + 1 k² (sin² a + cos² a) = 4 Karena sin² a + cos² a = 1, maka: k² * 1 = 4 k² = 4 k = ±2 Karena biasanya k diambil positif dalam bentuk ini, kita ambil k = 2. Untuk mencari nilai a, kita bagi persamaan (1) dengan persamaan (2): (k sin a) / (k cos a) = √3 / -1 tan a = -√3 Kita tahu bahwa tan a bernilai negatif di kuadran II dan IV. Namun, kita juga perlu mempertimbangkan tanda sin a dan cos a. Dari k sin a = √3 (dengan k=2), maka 2 sin a = √3, sehingga sin a = √3/2 (positif). Dari k cos a = -1 (dengan k=2), maka 2 cos a = -1, sehingga cos a = -1/2 (negatif). Nilai a yang memenuhi sin a positif dan cos a negatif adalah di kuadran II. Sudut di kuadran II yang memiliki tan a = -√3 adalah 120 derajat (atau 2π/3 radian). Jadi, bentuk (√3 sin x - cos x) dapat diubah menjadi 2 cos(x - 120°). Namun, jika soal meminta bentuk k cos(x-a) dan hanya meminta ekspresi tersebut tanpa mencari nilai a secara spesifik, maka kita dapat menyatakannya sebagai: √3 sin x - cos x = 2 * ( (√3/2) sin x - (1/2) cos x ) Kita bisa mencari sudut a sedemikian rupa sehingga cos a = -1/2 dan sin a = √3/2, yang memberikan a = 120°. Atau, kita bisa mencari sudut b sedemikian rupa sehingga sin b = -1/2 dan cos b = √3/2, yang memberikan b = -30° (atau 330°). Dalam kasus kedua, bentuknya menjadi k sin(x+b) atau k cos(x-b). Jika kita ingin bentuk k cos(x-a), maka: k cos(x - a) = k (cos x cos a + sin x sin a) Kita bandingkan dengan √3 sin x - cos x. Ini berarti kita perlu mencari a sehingga: k cos a = -1 k sin a = √3 Seperti yang telah dihitung, k = 2 dan a = 120°. Jadi, bentuk (√3 sin x - cos x) yang dapat diubah menjadi bentuk k cos(x-a) adalah 2 cos(x - 120°). Jika pertanyaannya adalah mencari bentuknya secara umum tanpa nilai spesifik a, maka jawabannya adalah k cos(x-a) dengan k=2 dan a=120 derajat.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Rumus Jumlah Dan Selisih Sudut, Identitas Trigonometri
Section: Mengubah Bentuk A Sin X B Cos X Ke Bentuk K Cos X A Atau K Sin X A
Apakah jawaban ini membantu?