Bentuk sederhana dari (akar(3) log 100.log 9-5 log 625)/(2

Bentuk sederhana dari ekspresi logaritma tersebut bergantung pada basis logaritma yang digunakan dan kemungkinan adanya kesalahan penulisan soal. Tanpa informasi tambahan, ekspresi tersebut tidak dapat disederhanakan lebih lanjut ke dalam bentuk numerik tunggal.

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi $rac{\sqrt{3} \log 100 \cdot \log 9 - 5 \log 625}{2 \log 12 - 2 \log 3}$, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma:

1. $\log a^b = b \log a$
2. $\log (a/b) = \log a - \log b$
3. $\log_a b = \frac{\log c b}{\log c a}$

Mari kita sederhanakan pembilang dan penyebutnya secara terpisah:

Pembilang: $\sqrt{3} \log 100 \cdot \log 9 - 5 \log 625$
- $\log 100 = \log 10^2 = 2$
- $\log 9 = \log 3^2 = 2 \log 3$
- $\log 625 = \log 5^4 = 4 \log 5$

Maka pembilang menjadi: $\sqrt{3} \cdot 2 \cdot (2 \log 3) - 5 \cdot (4 \log 5) = 4\sqrt{3} \log 3 - 20 \log 5$

Penyebut: $2 \log 12 - 2 \log 3$
- $2 \log 12 - 2 \log 3 = 2 (\log 12 - \log 3) = 2 \log (12/3) = 2 \log 4 = 2 \log 2^2 = 4 \log 2$

Jadi, ekspresi tersebut adalah: $\frac{4\sqrt{3} \log 3 - 20 \log 5}{4 \log 2}$

Jika kita mengasumsikan bahwa $\log$ merujuk pada $\log_{10}$, maka ekspresi ini tidak dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi bentuk numerik sederhana tanpa nilai $\log 3$, $\log 5$, dan $\log 2$. Namun, jika ada kesalahan dalam penulisan soal dan yang dimaksud adalah $\log_3$, maka:

Misalkan soalnya adalah $\frac{3 \log 100 \cdot \log 9 - 5 \log 625}{2 \log 12 - 2 \log 3}$ dan basis logaritma adalah 3.

Pembilang: $3 \log_3 100 \cdot \log_3 9 - 5 \log_3 625$
- $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$
- $\log_3 625 = \log_3 5^4 = 4 \log_3 5$
- $\log_3 100 = \log_3 (10^2) = 2 \log_3 10$

Maka pembilang menjadi: $3 \cdot (2 \log_3 10) \cdot 2 - 5 \cdot (4 \log_3 5) = 12 \log_3 10 - 20 \log_3 5$

Penyebut: $2 \log_3 12 - 2 \log_3 3$
- $2 \log_3 12 - 2 \log_3 3 = 2 (\log_3 12 - \log_3 3) = 2 \log_3 (12/3) = 2 \log_3 4 = 2 \log_3 2^2 = 4 \log_3 2$

Ekspresi menjadi $\frac{12 \log_3 10 - 20 \log_3 5}{4 \log_3 2}$.

Jika kita mengabaikan $\sqrt{3}$ dan menganggap basisnya sama, misal basis $b$. Maka:
$\frac{\log_b 100 \cdot \log_b 9 - 5 \log_b 625}{2 \log_b 12 - 2 \log_b 3} = \frac{2 \log_b 10 \cdot 2 \log_b 3 - 5 \cdot 4 \log_b 5}{2 (\log_b 12 - \log_b 3)} = \frac{4 \log_b 10 \log_b 3 - 20 \log_b 5}{2 \log_b 4} = \frac{4 \log_b 10 \log_b 3 - 20 \log_b 5}{4 \log_b 2}$

Tanpa informasi lebih lanjut mengenai basis logaritma atau kemungkinan kesalahan penulisan soal, bentuk sederhana dari ekspresi tersebut adalah $\frac{\sqrt{3} \log 100 \cdot \log 9 - 5 \log 625}{2 \log 12 - 2 \log 3}$.