Berapa banyaknya bilangan bulat positif di antara 200 dan

Terdapat 471 bilangan bulat positif di antara 200 dan 2.000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya.

Pembahasan

Kita perlu mencari banyaknya bilangan bulat positif antara 200 dan 2.000 (eksklusif) yang merupakan kelipatan 6 atau 7, tetapi tidak kelipatan keduanya (yaitu, tidak kelipatan 42).

Langkah 1: Tentukan rentang bilangan.
Rentang bilangan adalah dari 201 hingga 1.999.

Langkah 2: Hitung banyaknya kelipatan 6 dalam rentang tersebut.
Bilangan pertama yang merupakan kelipatan 6 setelah 200 adalah 204 (6 × 34).
Bilangan terakhir yang merupakan kelipatan 6 sebelum 2.000 adalah 1.998 (6 × 333).
Jumlah kelipatan 6 = (333 - 34) + 1 = 299 + 1 = 300.

Langkah 3: Hitung banyaknya kelipatan 7 dalam rentang tersebut.
Bilangan pertama yang merupakan kelipatan 7 setelah 200 adalah 203 (7 × 29).
Bilangan terakhir yang merupakan kelipatan 7 sebelum 2.000 adalah 1.995 (7 × 285).
Jumlah kelipatan 7 = (285 - 29) + 1 = 256 + 1 = 257.

Langkah 4: Hitung banyaknya kelipatan 42 (kelipatan 6 dan 7) dalam rentang tersebut.
Bilangan pertama yang merupakan kelipatan 42 setelah 200 adalah 210 (42 × 5).
Bilangan terakhir yang merupakan kelipatan 42 sebelum 2.000 adalah 1.974 (42 × 47).
Jumlah kelipatan 42 = (47 - 5) + 1 = 42 + 1 = 43.

Langkah 5: Gunakan Prinsip Inklusi-Eksklusi.
Banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 6 atau 7 adalah:
Jumlah(6 atau 7) = Jumlah(6) + Jumlah(7) - Jumlah(6 dan 7)
Jumlah(6 atau 7) = 300 + 257 - 43
Jumlah(6 atau 7) = 557 - 43 = 514.

Langkah 6: Cari banyaknya bilangan yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi TIDAK keduanya.
Ini berarti kita mengambil jumlah kelipatan 6 atau 7, lalu mengurangi dua kali jumlah kelipatan keduanya (karena kelipatan keduanya sudah dihitung di Jumlah(6) dan Jumlah(7)). Alternatifnya, kita bisa menghitung (Jumlah(6) - Jumlah(42)) + (Jumlah(7) - Jumlah(42)).

Menggunakan pendekatan kedua:
Kelipatan 6 saja = Jumlah(6) - Jumlah(42) = 300 - 43 = 257.
Kelipatan 7 saja = Jumlah(7) - Jumlah(42) = 257 - 43 = 214.

Total bilangan yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya = Kelipatan 6 saja + Kelipatan 7 saja
= 257 + 214
= 471.

Jadi, ada 471 bilangan bulat positif di antara 200 dan 2.000 yang merupakan kelipatan 6 atau 7 tetapi tidak keduanya.