Berapakah nilai k agar vektor c=k( 4 0 -3 ) merupakan

Nilai k = 3/25, dengan asumsi vektor c adalah proyeksi vektor a pada vektor (4, 0, -3).

Pembahasan

Agar vektor c = k(4, 0, -3) merupakan proyeksi vektor a = (3, 5, 3), maka vektor c harus sejajar dengan vektor a. Dua vektor dikatakan sejajar jika salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Dalam kasus ini, vektor c sudah diberikan dalam bentuk kelipatan skalar k dari vektor (4, 0, -3). Agar c sejajar dengan a, maka vektor (4, 0, -3) harus sejajar dengan vektor (3, 5, 3). 

Dua vektor dikatakan sejajar jika perbandingan komponen-komponennya sama. Misalkan vektor a = (a1, a2, a3) dan vektor b = (b1, b2, b3) sejajar, maka a1/b1 = a2/b2 = a3/b3.

Dalam kasus ini, kita perlu mencari nilai k sehingga vektor c = (4k, 0, -3k) merupakan proyeksi vektor a = (3, 5, 3). 
Proyeksi skalar vektor a pada vektor b diberikan oleh (a . b) / |b|.
Proyeksi vektor a pada vektor b diberikan oleh [(a . b) / |b|^2] * b.

Kita ingin vektor c = k(4, 0, -3) menjadi hasil proyeksi dari vektor a = (3, 5, 3). Ini berarti arah vektor c harus sama dengan arah proyeksi a. Proyeksi vektor a pada vektor lain v adalah vektor yang searah dengan v (atau berlawanan arah). Jadi, vektor c harus searah atau berlawanan arah dengan a.

Untuk vektor c = k(4, 0, -3) menjadi proyeksi dari a = (3, 5, 3), vektor c harus sejajar dengan a. Ini berarti:
(4, 0, -3) harus sejajar dengan (3, 5, 3).
Periksa perbandingan komponen:
4/3, 0/5, -3/3
1.33, 0, -1
Karena perbandingannya tidak sama, vektor (4, 0, -3) tidak sejajar dengan (3, 5, 3).

Ada kemungkinan maksud soal adalah vektor c adalah proyeksi skalar dari vektor a pada vektor lain, atau sebaliknya. Namun, berdasarkan formulasi "vektor c=k( 4 0 -3 ) merupakan proyeksi vektor a=( 3 5 3 )", ini menyiratkan bahwa vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada arah tertentu, dan k serta vektor (4,0,-3) mendefinisikan vektor hasil proyeksi tersebut. 

Jika yang dimaksud adalah vektor c adalah proyeksi vektor a pada vektor lain v, maka c = [(a . v) / |v|^2] * v. Dalam kasus ini, c = k(4, 0, -3), yang berarti arah vektor proyeksi adalah (4, 0, -3). Agar proyeksi vektor a memiliki arah (4, 0, -3), maka vektor a harus memiliki komponen yang memungkinkan proyeksi tersebut. Namun, tanpa mengetahui vektor mana yang diproyeksikan, kita tidak dapat menentukan k.

Jika soal berarti bahwa vektor c adalah proyeksi vektor a PADA vektor (4, 0, -3), maka kita bisa menghitungnya:
Misalkan v = (4, 0, -3).
Proyeksi a pada v = [(a . v) / |v|^2] * v
a . v = (3)(4) + (5)(0) + (3)(-3) = 12 + 0 - 9 = 3
|v|^2 = 4^2 + 0^2 + (-3)^2 = 16 + 0 + 9 = 25
Proyeksi a pada v = (3/25) * (4, 0, -3) = (12/25, 0, -9/25).
Jika proyeksi ini adalah vektor c = k(4, 0, -3), maka:
(12/25, 0, -9/25) = (4k, 0, -3k)
Dari komponen x: 12/25 = 4k => k = (12/25) / 4 = 12/100 = 3/25.
Dari komponen z: -9/25 = -3k => k = (-9/25) / -3 = 9/75 = 3/25.
Jadi, nilai k = 3/25.