Biaya produksi (dalam jutaan rupiah) x unit komoditas

a. Rerata laju perubahan dari C terhadap x adalah 20.25 (untuk x=100 ke 105) dan 20.05 (untuk x=100 ke 101). b. Laju perubahan sesaat C terhadap x untuk x=100 adalah 20.

Pembahasan

Biaya produksi (dalam jutaan rupiah) untuk x unit komoditas diberikan oleh fungsi C(x) = 5000 + 10x + 0,05x².

a. Menentukan rerata laju perubahan C terhadap x.
Rerata laju perubahan C terhadap x antara x₁ dan x₂ adalah \frac{C(x₂) - C(x₁)}{x₂ - x₁}.

1. Dari x=100 sampai x=105:
x₁ = 100, x₂ = 105
C(100) = 5000 + 10(100) + 0,05(100)² = 5000 + 1000 + 0,05(10000) = 5000 + 1000 + 500 = 6500
C(105) = 5000 + 10(105) + 0,05(105)² = 5000 + 1050 + 0,05(11025) = 5000 + 1050 + 551.25 = 6601.25
Rerata laju perubahan = \frac{C(105) - C(100)}{105 - 100} = \frac{6601.25 - 6500}{5} = \frac{101.25}{5} = 20.25

2. Dari x=100 sampai x=101:
x₁ = 100, x₂ = 101
C(100) = 6500
C(101) = 5000 + 10(101) + 0,05(101)² = 5000 + 1010 + 0,05(10201) = 5000 + 1010 + 510.05 = 6520.05
Rerata laju perubahan = \frac{C(101) - C(100)}{101 - 100} = \frac{6520.05 - 6500}{1} = \frac{20.05}{1} = 20.05

b. Menentukan laju perubahan sesaat C terhadap x untuk x=100.
Laju perubahan sesaat diperoleh dari turunan pertama fungsi C(x).
C'(x) = \frac{d}{dx}(5000 + 10x + 0,05x²)
C'(x) = 0 + 10 + 0,05(2x)
C'(x) = 10 + 0,1x

Untuk x = 100:
C'(100) = 10 + 0,1(100)
C'(100) = 10 + 10
C'(100) = 20

Jadi, laju perubahan sesaat dari C terhadap x untuk x=100 adalah 20. Ini berarti bahwa ketika produksi berada pada 100 unit, biaya produksi meningkat sebesar 20 juta rupiah untuk setiap tambahan satu unit produksi.