Tentukan penyelesaian dan penyelesaian umum dari setiap

Penyelesaian: $60^\circ, 120^\circ$. Penyelesaian Umum: $x = 60^\circ + n \cdot 180^\circ$ atau $x = 120^\circ + n \cdot 180^\circ$.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan $\cos(2x) = \cos(120^\circ)$ untuk $0 \le x \le 180^\circ$.

Secara umum, jika $\cos(A) = \cos(B)$, maka $A = \pm B + n \cdot 360^\circ$, di mana n adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, $A = 2x$ dan $B = 120^\circ$.

Kasus 1: $2x = 120^\circ + n \cdot 360^\circ$
Dembagi kedua sisi dengan 2:
$x = 60^\circ + n \cdot 180^\circ$

Untuk $n = 0$, $x = 60^\circ$. Nilai ini berada dalam rentang $0 \le x \le 180^\circ$.
Untuk $n = 1$, $x = 60^\circ + 180^\circ = 240^\circ$. Nilai ini di luar rentang.

Kasus 2: $2x = -120^\circ + n \cdot 360^\circ$
Dembagi kedua sisi dengan 2:
$x = -60^\circ + n \cdot 180^\circ$

Untuk $n = 1$, $x = -60^\circ + 180^\circ = 120^\circ$. Nilai ini berada dalam rentang $0 \le x \le 180^\circ$.
Untuk $n = 0$, $x = -60^\circ$. Nilai ini di luar rentang.
Untuk $n = 2$, $x = -60^\circ + 360^\circ = 300^\circ$. Nilai ini di luar rentang.

Penyelesaian umum dari persamaan $\cos(2x) = \cos(120^\circ)$ adalah $x = 60^\circ + n \cdot 180^\circ$ atau $x = 120^\circ + n \cdot 180^\circ$. Namun, yang diminta adalah penyelesaian dalam rentang $0 \le x \le 180^\circ$.

Penyelesaian dalam rentang yang ditentukan adalah $x = 60^\circ$ dan $x = 120^\circ$.