Bilangan ylog(x-1), ylog(x+1), ylog(3x-1) merupakan tiga

5

Pembahasan

Diketahui tiga suku deret aritmetika berurutan: blog(x-1), blog(x+1), blog(3x-1).
Dalam deret aritmetika, berlaku sifat bahwa suku tengah adalah rata-rata dari dua suku yang berdekatan. Jadi:
2 * blog(x+1) = blog(x-1) + blog(3x-1)

Menggunakan sifat logaritma, blog(a) + blog(b) = blog(ab):
2 * blog(x+1) = blog((x-1)(3x-1))

Menggunakan sifat logaritma, n*blog(a) = blog(a^n):
blog((x+1)^2) = blog((x-1)(3x-1))

Karena basis logaritmanya sama, maka:
(x+1)^2 = (x-1)(3x-1)
x^2 + 2x + 1 = 3x^2 - x - 3x + 1
x^2 + 2x + 1 = 3x^2 - 4x + 1

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
0 = 3x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 1
0 = 2x^2 - 6x

Faktorkan persamaan:
0 = 2x(x - 3)

Solusinya adalah x = 0 atau x = 3.
Namun, dalam logaritma, argumen harus positif. Jadi, kita periksa nilai x:
Jika x = 0: log(0-1) = log(-1) tidak terdefinisi.
Jika x = 3: log(3-1) = log(2), log(3+1) = log(4), log(3*3-1) = log(8). Nilai-nilai ini terdefinisi.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3.

Selanjutnya, kita gunakan informasi bahwa jumlah ketiga bilangan itu adalah 6:
log(x-1) + log(x+1) + log(3x-1) = 6
log(2) + log(4) + log(8) = 6
log(2 * 4 * 8) = 6
log(64) = 6

Ini berarti basis logaritma (y) adalah 4, karena 4^6 = 4096, bukan 64. Kesalahan dalam interpretasi atau soal. Mari kita asumsikan y adalah basis logaritma.

Dengan y sebagai basis, maka:
y log(x-1), y log(x+1), y log(3x-1) merupakan tiga suku deret aritmetika.
Ini berarti:
y log(x+1) - y log(x-1) = y log(3x-1) - y log(x+1)

Bagi kedua sisi dengan y (asumsi y bukan 0):
log(x+1) - log(x-1) = log(3x-1) - log(x+1)

Menggunakan sifat logaritma, log(a) - log(b) = log(a/b):
log((x+1)/(x-1)) = log((3x-1)/(x+1))

Karena basis logaritma sama, maka:
(x+1)/(x-1) = (3x-1)/(x+1)
(x+1)^2 = (x-1)(3x-1)
x^2 + 2x + 1 = 3x^2 - 4x + 1
2x^2 - 6x = 0
2x(x - 3) = 0
x = 0 atau x = 3.

Karena argumen logaritma harus positif, maka x = 3.

Jumlah tiga bilangan itu adalah 6:
y log(x-1) + y log(x+1) + y log(3x-1) = 6
y (log(3-1) + log(3+1) + log(3*3-1)) = 6
y (log(2) + log(4) + log(8)) = 6
y (log(2*4*8)) = 6
y log(64) = 6

Ini berarti logaritma dengan basis y dari 64 sama dengan 6.
Jika kita menggunakan logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10, ini tidak akan menghasilkan y yang sederhana. Mari kita asumsikan y adalah basis dari logaritma.

Jadi, bentuknya adalah:
$\\log_y(x-1), \\log_y(x+1), \\log_y(3x-1)$ adalah barisan aritmatika.
Maka berlaku:
$2 \\log_y(x+1) = \\log_y(x-1) + \\log_y(3x-1)$
$\\\\log_y((x+1)^2) = \\log_y((x-1)(3x-1))$
$(x+1)^2 = (x-1)(3x-1)$
$x^2 + 2x + 1 = 3x^2 - 4x + 1$
$2x^2 - 6x = 0$
$2x(x-3) = 0$
$x=0$ atau $x=3$.
Karena $\\log_y(x-1)$ harus terdefinisi, maka $x-1 > 0$, sehingga $x > 1$. Jadi, $x=3$.

Jumlah tiga bilangan itu adalah 6:
$\\\\log_y(x-1) + \\log_y(x+1) + \\log_y(3x-1) = 6$
$\\\\log_y(2) + \\log_y(4) + \\log_y(8) = 6$
$\\\\log_y(2 \\times 4 \\times 8) = 6$
$\\\\log_y(64) = 6$

Ini berarti $y^6 = 64$.
Karena $64 = 2^6$, maka $y = 2$.

Kita perlu mencari $x+y$. Diketahui $x=3$ dan $y=2$.
Maka $x+y = 3+2 = 5$.

Jawaban: 5