Bu Anita membeli 28 botol sirop jeruk, 24 botol selai

Keuntungan yang didapat Pak Soleh adalah Rp 1.079.100,00.

Pembahasan

Mari kita tetapkan harga per unit untuk setiap barang:
Misalkan:
$x$ = harga per botol sirop jeruk
$y$ = harga per botol selai cokelat
$z$ = harga per dus susu cair

Dari informasi yang diberikan, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:
Bu Anita: 28x + 24y + 32z = 1.450.000 (1)
Bu Dini: 21x + 16y + 36z = 1.189.500 (2)
Bu Rika: 30x + 12y + 40z = 1.315.000 (3)

Kita perlu mencari harga beli Pak Soleh untuk 125 botol sirop jeruk, 200 botol selai cokelat, dan 350 kardus susu cair. Jadi, kita perlu menghitung $125x + 200y + 350z$.

Selanjutnya, kita perlu mempertimbangkan barang yang rusak dan keuntungan penjualan.
Jumlah barang rusak:
4 botol sirop jeruk
5 botol selai cokelat
10 kardus susu cair

Jumlah barang yang dibeli Pak Soleh yang baik:
Sirop jeruk: 125 - 4 = 121 botol
Selai cokelat: 200 - 5 = 195 botol
Susu cair: 350 - 10 = 340 dus

Harga jual Pak Soleh adalah harga beli ditambah 10% dari harga beli.
Jadi, harga jual = 1.10 * (harga beli).

Keuntungan Pak Soleh = (Total harga jual barang baik) - (Total harga beli barang baik).

Langkah pertama adalah menyelesaikan sistem persamaan linear untuk menemukan nilai x, y, dan z.
Ini adalah sistem 3x3 yang bisa diselesaikan dengan metode substitusi, eliminasi, atau matriks. Mengingat jumlahnya yang besar, metode matriks atau eliminasi yang hati-hati diperlukan.

Mari kita coba simplifikasi persamaan jika memungkinkan, atau gunakan metode eliminasi.

Kita perlu menemukan nilai $125x + 200y + 350z$. Perhatikan bahwa jumlah barang yang dibeli Pak Soleh (125, 200, 350) adalah kelipatan dari jumlah barang yang dibeli oleh ibu-ibu tersebut, yang mungkin bisa disederhanakan jika kita mengamati rasio.
Namun, rasio ini tidak konsisten antar persamaan.

Mari kita fokus untuk menemukan $x, y, z$ terlebih dahulu. Metode eliminasi:
Kalikan (1) dengan 3, (2) dengan 2, dan (3) dengan 2 untuk menyamakan koefisien y:
3 * (1): 84x + 72y + 96z = 4.350.000
2 * (2): 42x + 32y + 72z = 2.379.000
2 * (3): 60x + 24y + 80z = 2.630.000

Ini tidak menyederhanakan eliminasi y secara langsung.
Mari coba eliminasi z.
Kalikan (1) dengan 9, (2) dengan 8, (3) dengan 7 untuk menyamakan koefisien z:
9 * (1): 252x + 216y + 288z = 13.050.000
8 * (2): 168x + 128y + 288z = 9.516.000
7 * (3): 210x + 84y + 280z = 9.205.000

Kurangi (2') dari (1'):
(252x - 168x) + (216y - 128y) + (288z - 288z) = 13.050.000 - 9.516.000
84x + 88y = 3.534.000 (4)

Kurangi (3') dari (1'):
(252x - 210x) + (216y - 84y) + (288z - 280z) = 13.050.000 - 9.205.000
42x + 132y + 8z = 3.845.000 (5) (Ini masih ada z, jadi pendekatan ini kurang efisien tanpa eliminasi z sepenuhnya.)

Mari kita coba eliminasi z antara dua pasang persamaan:
Eliminasi z antara (1) dan (2):
Kalikan (1) dengan 9, (2) dengan 8:
252x + 216y + 288z = 13.050.000
168x + 128y + 288z = 9.516.000
Kurangi:
84x + 88y = 3.534.000 (A)

Eliminasi z antara (2) dan (3):
Kalikan (2) dengan 10, (3) dengan 9:
210x + 160y + 360z = 11.895.000
270x + 108y + 360z = 11.835.000
Kurangi (3'') dari (2''):
(210x - 270x) + (160y - 108y) + (360z - 360z) = 11.895.000 - 11.835.000
-60x + 52y = 60.000 (B)

Sekarang kita punya sistem 2x2:
(A) 84x + 88y = 3.534.000
(B) -60x + 52y = 60.000

Kita bisa menyederhanakan persamaan (A) dengan membagi 4:
21x + 22y = 883.500

Dan menyederhanakan persamaan (B) dengan membagi 4:
-15x + 13y = 15.000

Sekarang kita selesaikan sistem ini:
21x + 22y = 883.500
-15x + 13y = 15.000

Kalikan persamaan pertama dengan 13 dan persamaan kedua dengan 22 untuk mengeliminasi y:
13 * (21x + 22y) = 13 * 883.500 => 273x + 286y = 11.485.500
22 * (-15x + 13y) = 22 * 15.000 => -330x + 286y = 330.000

Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama:
(273x - (-330x)) + (286y - 286y) = 11.485.500 - 330.000
603x = 11.155.500
x = 11.155.500 / 603
x = 18.500

Substitusikan x = 18.500 ke persamaan -15x + 13y = 15.000:
-15(18.500) + 13y = 15.000
-277.500 + 13y = 15.000
13y = 15.000 + 277.500
13y = 292.500
y = 292.500 / 13
y = 22.500

Sekarang substitusikan nilai x dan y ke salah satu persamaan awal untuk mencari z. Gunakan persamaan (3):
30x + 12y + 40z = 1.315.000
30(18.500) + 12(22.500) + 40z = 1.315.000
555.000 + 270.000 + 40z = 1.315.000
825.000 + 40z = 1.315.000
40z = 1.315.000 - 825.000
40z = 490.000
z = 490.000 / 40
z = 12.250

Jadi, harga per unit adalah:
Sirop jeruk (x) = Rp 18.500
Selai cokelat (y) = Rp 22.500
Susu cair (z) = Rp 12.250

Sekarang hitung total harga beli Pak Soleh:
Harga beli = 125x + 200y + 350z
Harga beli = 125(18.500) + 200(22.500) + 350(12.250)
Harga beli = 2.312.500 + 4.500.000 + 4.287.500
Harga beli = 11.100.000

Sekarang hitung harga beli barang yang baik saja (tanpa yang rusak):
Biaya barang baik = (121 * 18.500) + (195 * 22.500) + (340 * 12.250)
Biaya barang baik = 2.238.500 + 4.387.500 + 4.165.000
Biaya barang baik = 10.791.000

Pak Soleh menjual barang yang baik dengan harga jual 10% lebih dari harga beli.
Total harga jual barang baik = 1.10 * (Biaya barang baik)
Harga jual = 1.10 * 10.791.000
Harga jual = 11.870.100

Keuntungan atau kerugian yang didapat Pak Soleh adalah:
Keuntungan = Harga Jual - Biaya Barang Baik
Keuntungan = 11.870.100 - 10.791.000
Keuntungan = 1.079.100

Jadi, Pak Soleh mendapatkan keuntungan sebesar Rp 1.079.100,00.

Jawaban: Keuntungan yang didapat Pak Soleh adalah Rp 1.079.100,00.