Buatlah sketsa grafik setiap fungsi berikut.y=3x^4+4x^3

Sketsa grafik y=3x^4+4x^3 memiliki minimum lokal di (-1,-1), titik belok di (-2/3, -16/27) dan titik belok horizontal di (0,0). Fungsi naik setelah x=-1 dan menuju tak hingga di kedua sisi.

Pembahasan

Untuk membuat sketsa grafik fungsi y = 3x^4 + 4x^3, kita perlu menganalisis beberapa aspek dari fungsi tersebut:

1.  **Turunan Pertama:** Cari turunan pertama untuk menentukan titik kritis (maksimum, minimum, atau belok).
    y' = d/dx (3x^4 + 4x^3)
    y' = 12x^3 + 12x^2
    Untuk mencari titik kritis, atur y' = 0:
    12x^3 + 12x^2 = 0
    12x^2(x + 1) = 0
    Ini memberikan x = 0 dan x = -1.

2.  **Turunan Kedua:** Cari turunan kedua untuk menentukan kecekungan (cekung ke atas atau ke bawah).
    y'' = d/dx (12x^3 + 12x^2)
    y'' = 36x^2 + 24x
    Untuk mencari titik belok, atur y'' = 0:
    36x^2 + 24x = 0
    12x(3x + 2) = 0
    Ini memberikan x = 0 dan x = -2/3.

3.  **Nilai Fungsi di Titik Kritis:**
    *   Untuk x = -1:
        y = 3(-1)^4 + 4(-1)^3 = 3(1) + 4(-1) = 3 - 4 = -1. Jadi, titik (-1, -1) adalah titik kritis.
    *   Untuk x = 0:
        y = 3(0)^4 + 4(0)^3 = 0. Jadi, titik (0, 0) adalah titik kritis.

4.  **Analisis Kecekungan di Titik Kritis (menggunakan turunan kedua):**
    *   Di x = -1:
        y'' = 36(-1)^2 + 24(-1) = 36 - 24 = 12. Karena y'' > 0, maka di x = -1 terdapat minimum lokal.
    *   Di x = 0:
        y'' = 36(0)^2 + 24(0) = 0. Turunan kedua nol, perlu analisis lebih lanjut menggunakan turunan pertama di sekitar x=0 atau mempertimbangkan sifat fungsi.

5.  **Analisis Tanda Turunan Pertama:**
    *   Untuk x < -1 (misal x = -2): y' = 12(-2)^3 + 12(-2)^2 = 12(-8) + 12(4) = -96 + 48 = -48 (menurun)
    *   Untuk -1 < x < 0 (misal x = -0.5): y' = 12(-0.5)^3 + 12(-0.5)^2 = 12(-0.125) + 12(0.25) = -1.5 + 3 = 1.5 (meningkat)
    *   Untuk x > 0 (misal x = 1): y' = 12(1)^3 + 12(1)^2 = 12 + 12 = 24 (meningkat)
    Dari sini terlihat bahwa di x = -1 ada minimum lokal, dan di x = 0 fungsi berubah dari meningkat ke meningkat, menunjukkan adanya titik belok horizontal atau sifat lain.

6.  **Analisis Tanda Turunan Kedua (untuk kecekungan):**
    *   Untuk x < -2/3 (misal x = -1):
        y'' = 36(-1)^2 + 24(-1) = 36 - 24 = 12 (cekung ke atas)
    *   Untuk -2/3 < x < 0 (misal x = -0.5):
        y'' = 36(-0.5)^2 + 24(-0.5) = 36(0.25) - 12 = 9 - 12 = -3 (cekung ke bawah)
    *   Untuk x > 0 (misal x = 1):
        y'' = 36(1)^2 + 24(1) = 36 + 24 = 60 (cekung ke atas)
    Titik belok terjadi di x = -2/3 dan x = 0.

7.  **Perilaku Jangka Panjang:** Karena suku dominan adalah 3x^4 (pangkat genap positif), maka:
    *   Saat x mendekati +∞, y mendekati +∞.
    *   Saat x mendekati -∞, y mendekati +∞.

**Sketsa Grafik:**
*   Grafik turun untuk x < -1.
*   Memiliki minimum lokal di (-1, -1).
*   Grafik naik untuk -1 < x < 0.
*   Memiliki titik belok di x = -2/3. Nilai y di x = -2/3 adalah: y = 3(-2/3)^4 + 4(-2/3)^3 = 3(16/81) + 4(-8/27) = 16/27 - 32/27 = -16/27. Jadi, titik belok di (-2/3, -16/27).
*   Grafik naik terus setelah x = 0.
*   Memiliki titik belok horizontal (atau infleksi) di (0, 0).
*   Grafik naik ke +∞ saat x → +∞ dan naik ke +∞ saat x → -∞.

Grafiknya akan terlihat seperti huruf 'W' yang sedikit tidak simetris, dengan lembah di (-1, -1) dan sebuah titik belok di (0,0) di mana gradiennya nol sesaat sebelum terus naik.