Buatlah sketsa grafik setiap fungsi berikut.y=x^4-6x^2+1

Sketsa grafik fungsi y = x^4 - 6x^2 + 1 adalah bentuk 'W' dengan maksimum lokal di (0, 1) dan minimum lokal di (-sqrt(3), -8) serta (sqrt(3), -8).

Pembahasan

Untuk membuat sketsa grafik fungsi y = x^4 - 6x^2 + 1, kita perlu menganalisis beberapa aspek dari fungsi tersebut:

1.  **Titik Potong Sumbu-y**: Substitusikan x = 0 ke dalam persamaan: y = (0)^4 - 6(0)^2 + 1 = 1. Jadi, grafik memotong sumbu-y di titik (0, 1).

2.  **Titik Potong Sumbu-x**: Substitusikan y = 0 ke dalam persamaan: x^4 - 6x^2 + 1 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk x^2. Misalkan u = x^2, maka u^2 - 6u + 1 = 0. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari u: u = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a = [6 ± sqrt((-6)^2 - 4(1)(1))] / 2(1) = [6 ± sqrt(36 - 4)] / 2 = [6 ± sqrt(32)] / 2 = [6 ± 4*sqrt(2)] / 2 = 3 ± 2*sqrt(2). Karena u = x^2, maka x^2 = 3 + 2*sqrt(2) dan x^2 = 3 - 2*sqrt(2). Kedua nilai ini positif, sehingga kita mendapatkan empat nilai x real: x = ±sqrt(3 + 2*sqrt(2)) dan x = ±sqrt(3 - 2*sqrt(2)).

3.  **Turunan Pertama (untuk mencari titik kritis)**: Cari turunan pertama dari y terhadap x: dy/dx = 4x^3 - 12x. Atur dy/dx = 0 untuk mencari titik kritis: 4x^3 - 12x = 0 => 4x(x^2 - 3) = 0. Solusinya adalah x = 0, x = sqrt(3), dan x = -sqrt(3).
    *   Untuk x = 0, y = 1. Titik (0, 1) adalah titik potong sumbu-y.
    *   Untuk x = sqrt(3), y = (sqrt(3))^4 - 6(sqrt(3))^2 + 1 = 9 - 6(3) + 1 = 9 - 18 + 1 = -8. Titik (sqrt(3), -8).
    *   Untuk x = -sqrt(3), y = (-sqrt(3))^4 - 6(-sqrt(3))^2 + 1 = 9 - 6(3) + 1 = 9 - 18 + 1 = -8. Titik (-sqrt(3), -8).

4.  **Turunan Kedua (untuk menentukan jenis titik kritis)**: Cari turunan kedua dari y terhadap x: d^2y/dx^2 = 12x^2 - 12. 
    *   Untuk x = 0, d^2y/dx^2 = 12(0)^2 - 12 = -12. Karena negatif, titik (0, 1) adalah maksimum lokal.
    *   Untuk x = sqrt(3), d^2y/dx^2 = 12(sqrt(3))^2 - 12 = 12(3) - 12 = 36 - 12 = 24. Karena positif, titik (sqrt(3), -8) adalah minimum lokal.
    *   Untuk x = -sqrt(3), d^2y/dx^2 = 12(-sqrt(3))^2 - 12 = 12(3) - 12 = 36 - 12 = 24. Karena positif, titik (-sqrt(3), -8) adalah minimum lokal.

5.  **Perilaku Asimtotik**: Karena ini adalah polinomial derajat 4 dengan koefisien utama positif, saat x mendekati ±infiniti, y mendekati +infiniti.

**Sketsa Grafik**:
Grafik akan memiliki bentuk seperti 'W'.
*   Memotong sumbu-y di (0, 1).
*   Memiliki maksimum lokal di (0, 1).
*   Memiliki dua minimum lokal di (-sqrt(3), -8) dan (sqrt(3), -8).
*   Memotong sumbu-x di empat titik: sekitar ±0.44 dan ±2.32.
*   Naik dari kiri bawah, mencapai minimum di (-sqrt(3), -8), naik ke maksimum di (0, 1), turun ke minimum di (sqrt(3), -8), dan kemudian naik lagi ke kanan atas.