Buktikan: 2 sin 3x sin 4x + 2 cos 5x cos 2x -cos 3x=cos x

Identitas terbukti benar dengan menggunakan rumus perkalian ke penjumlahan, yang menghasilkan penyederhanaan menjadi cos x = cos x.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri ini, kita akan menggunakan identitas perkalian ke penjumlahan.
Identitas yang relevan adalah:
2 sin A sin B = cos(A-B) - cos(A+B)
2 cos A cos B = cos(A-B) + cos(A+B)

Mari kita terapkan pada soal:
2 sin 3x sin 4x = cos(3x-4x) - cos(3x+4x) = cos(-x) - cos(7x)
Karena cos(-x) = cos(x), maka 2 sin 3x sin 4x = cos(x) - cos(7x)

2 cos 5x cos 2x = cos(5x-2x) + cos(5x+2x) = cos(3x) + cos(7x)

Sekarang, substitusikan kembali ke persamaan awal:
[cos(x) - cos(7x)] + [cos(3x) + cos(7x)] - cos(3x) = cos x

Sederhanakan persamaan:
cos(x) - cos(7x) + cos(3x) + cos(7x) - cos(3x) = cos x

Perhatikan bahwa -cos(7x) dan +cos(7x) saling meniadakan. Begitu pula, +cos(3x) dan -cos(3x) saling meniadakan.

Yang tersisa adalah:
cos(x) = cos x

Karena kedua sisi persamaan sama, maka identitas tersebut terbukti benar.