Buktikan bahwa 1/(sec theta-tan theta)=sec theta+tan theta.

Terbukti dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri $\frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = \sec \theta + \tan \theta$, kita akan mulai dari sisi kiri persamaan dan memanipulasinya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi kiri:
LHS = $\frac{1}{\sec \theta - \tan \theta}$

Kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut, yaitu $(\sec \theta + \tan \theta)$:
LHS = $\frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} \times \frac{\sec \theta + \tan \theta}{\sec \theta + \tan \theta}$

Sekarang, kalikan pembilang:
Pembilang = $1 \times (\sec \theta + \tan \theta) = \sec \theta + \tan \theta$

Kalikan penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
Penyebut = $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta$

Kita tahu identitas trigonometri dasar $\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$. Dengan mengatur ulang identitas ini, kita mendapatkan $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$.

Jadi, penyebutnya adalah 1.

Substitusikan kembali pembilang dan penyebut ke dalam persamaan LHS:
LHS = $\frac{\sec \theta + \tan \theta}{1}$
LHS = $\sec \theta + \tan \theta$

Ini sama dengan sisi kanan persamaan (RHS).

Karena LHS = RHS, maka terbukti bahwa $\frac{1}{\sec \theta - \tan \theta} = \sec \theta + \tan \theta$.