Buktikan bahwa 3^4n-1 habis dibagi 8 untuk setiap n

Dibuktikan dengan induksi matematika: basis (n=1) benar (80 habis dibagi 8), hipotesis (3^4k - 1 = 8m), dan langkah induktif (3^(4(k+1)) - 1 = 8(81m+10)).

Pembahasan

Kita perlu membuktikan bahwa 3^(4n) - 1 habis dibagi 8 untuk setiap bilangan asli n, menggunakan induksi matematika.
Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, kita periksa apakah 3^(4*1) - 1 habis dibagi 8.
3^4 - 1 = 81 - 1 = 80.
Karena 80 = 8 * 10, maka 80 habis dibagi 8. Basis induksi terpenuhi.
Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa 3^(4k) - 1 habis dibagi 8 untuk suatu bilangan asli k. Ini berarti 3^(4k) - 1 = 8m untuk suatu bilangan bulat m, atau 3^(4k) = 8m + 1.
Langkah 3: Langkah Induktif
Kita perlu membuktikan bahwa 3^(4(k+1)) - 1 habis dibagi 8.
3^(4(k+1)) - 1 = 3^(4k + 4) - 1
= 3^(4k) * 3^4 - 1
= 3^(4k) * 81 - 1
Gunakan hipotesis induksi (3^(4k) = 8m + 1):
= (8m + 1) * 81 - 1
= 8m * 81 + 1 * 81 - 1
= 648m + 81 - 1
= 648m + 80
Kita dapat memfaktorkan 8 dari ekspresi ini:
= 8 * (81m + 10)
Karena (81m + 10) adalah bilangan bulat, maka 3^(4(k+1)) - 1 habis dibagi 8.
Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan bahwa 3^(4n) - 1 habis dibagi 8 benar untuk setiap bilangan asli n.