Buktikan bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4,untuk setiap bilangan

Gunakan induksi matematika. Basis: n=1, 5^1-1=4 habis dibagi 4. Asumsi: 5^k-1=4m. Langkah: 5^(k+1)-1 = 5(4m+1)-1 = 20m+4 = 4(5m+1), habis dibagi 4.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 1, 5^1 - 1 = 5 - 1 = 4. Karena 4 habis dibagi 4, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Asumsi Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 5^k - 1 habis dibagi 4. Ini berarti 5^k - 1 = 4m untuk suatu bilangan bulat m. Dengan kata lain, 5^k = 4m + 1.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu 5^(k+1) - 1 habis dibagi 4.

Perhatikan ekspresi 5^(k+1) - 1:
5^(k+1) - 1 = 5 * 5^k - 1
Gantilah 5^k dengan (4m + 1) berdasarkan asumsi induksi:
5 * (4m + 1) - 1 = 20m + 5 - 1
= 20m + 4
= 4(5m + 1)

Karena 5m + 1 adalah bilangan bulat, maka 4(5m + 1) jelas habis dibagi 4.

Kesimpulan:
Dengan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 5^n - 1 habis dibagi 4 untuk setiap bilangan asli n.