Buktikan bahwa ((a+1)/a)^2+((b+1)/b)^2>=18 untuk a, b

Terbukti menggunakan ketaksamaan Jensen.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketaksamaan ((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2 >= 18 untuk a, b bilangan real positif serta a+b=1, kita dapat menggunakan ketaksamaan AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean) atau Cauchy-Schwarz.

Mari kita gunakan manipulasi aljabar dan ketaksamaan AM-GM.

Diketahui a > 0, b > 0, dan a + b = 1.
Kita ingin membuktikan: ((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2 >= 18

Sederhanakan suku-suku dalam kurung:
(a+1)/a = 1 + 1/a
(b+1)/b = 1 + 1/b

Jadi, ketaksamaan menjadi: (1 + 1/a)^2 + (1 + 1/b)^2 >= 18

Jabarkan kuadratnya:
(1 + 2/a + 1/a^2) + (1 + 2/b + 1/b^2) >= 18
2 + 2(1/a + 1/b) + (1/a^2 + 1/b^2) >= 18
2(1/a + 1/b) + (1/a^2 + 1/b^2) >= 16

Sekarang, kita gunakan informasi a + b = 1.

Hitung 1/a + 1/b:
1/a + 1/b = (b + a) / (ab) = 1 / (ab)

Hitung 1/a^2 + 1/b^2:
1/a^2 + 1/b^2 = (b^2 + a^2) / (a^2 b^2) = ((a+b)^2 - 2ab) / (ab)^2
Karena a+b = 1:
= (1^2 - 2ab) / (ab)^2 = (1 - 2ab) / (ab)^2

Substitusikan kembali ke dalam ketaksamaan:
2(1/ab) + (1 - 2ab) / (ab)^2 >= 16

Misalkan x = ab. Karena a dan b positif dan a+b=1, maka nilai maksimum ab terjadi ketika a=b=1/2, yaitu (1/2)(1/2) = 1/4. Nilai minimum ab mendekati 0 (ketika salah satu variabel mendekati 0 dan yang lain mendekati 1). Jadi, 0 < ab <= 1/4.

Ketaksamaan menjadi:
2/x + (1 - 2x) / x^2 >= 16
Kalikan kedua sisi dengan x^2 (karena x^2 positif):
2x + (1 - 2x) >= 16x^2
1 >= 16x^2
1/16 >= x^2

Ini berarti x <= 1/4 (karena x = ab positif).

Sekarang, mari kita coba pendekatan lain menggunakan ketaksamaan AM-GM pada suku awal:
Kita punya (1 + 1/a) dan (1 + 1/b).
Jumlahnya adalah (1+1/a) + (1+1/b) = 2 + (1/a + 1/b) = 2 + (a+b)/ab = 2 + 1/ab.

Menurut AM-GM:
(1 + 1/a) + (1 + 1/b) >= 2 * sqrt((1 + 1/a)(1 + 1/b))
2 + 1/ab >= 2 * sqrt(1 + 1/a + 1/b + 1/ab)
2 + 1/ab >= 2 * sqrt(1 + (a+b)/ab + 1/ab)
2 + 1/ab >= 2 * sqrt(1 + 1/ab + 1/ab)
2 + 1/ab >= 2 * sqrt(1 + 2/ab)
Kuadratkan kedua sisi:
(2 + 1/ab)^2 >= 4 * (1 + 2/ab)
4 + 4/ab + 1/(ab)^2 >= 4 + 8/ab
1/(ab)^2 >= 4/ab
1/(ab) >= 4
ab <= 1/4
Ini konsisten dengan batasan ab.

Mari kita kembali ke ekspresi:
2(1/a + 1/b) + (1/a^2 + 1/b^2) >= 16
2(1/ab) + (1 - 2ab)/(ab)^2 >= 16

Kita tahu bahwa untuk a, b positif, (a+b)^2 >= 4ab. Dengan a+b=1, maka 1 >= 4ab, atau ab <= 1/4.
Ini berarti 1/ab >= 4.

Mari kita gunakan ketaksamaan Jensen pada fungsi f(x) = (1+1/x)^2.
Turunan pertama: f'(x) = 2(1+1/x) * (-1/x^2) = -2/x^2 - 2/x^3
Turunan kedua: f''(x) = 4/x^3 + 6/x^4. Untuk x > 0, f''(x) > 0, jadi f(x) cembung.

Menurut Jensen:
[f(a) + f(b)] / 2 >= f((a+b)/2)
[((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2] / 2 >= (( (a+b)/2 + 1 ) / ((a+b)/2) )^2
[((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2] / 2 >= (( 1/2 + 1 ) / (1/2) )^2
[((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2] / 2 >= ( (3/2) / (1/2) )^2
[((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2] / 2 >= (3)^2
[((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2] / 2 >= 9
((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2 >= 18

Kesamaan terjadi ketika a = b. Karena a + b = 1, maka a = b = 1/2.
Mari kita cek untuk a = 1/2, b = 1/2:
((1/2 + 1)/(1/2))^2 + ((1/2 + 1)/(1/2))^2
= ((3/2)/(1/2))^2 + ((3/2)/(1/2))^2
= (3)^2 + (3)^2
= 9 + 9
= 18

Jadi, terbukti bahwa ((a+1)/a)^2 + ((b+1)/b)^2 >= 18 untuk a, b bilangan real positif serta a+b=1.