Perhatikan gambar berikut. A B C Tentukan : a.

Operasi vektor antara titik-titik segitiga.

Pembahasan

Dalam soal ini, kita diminta untuk menentukan hubungan antara vektor-vektor yang diberikan pada gambar segitiga ABC.

Misalkan titik A, B, dan C merepresentasikan posisi vektor \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), dan \( \vec{C} \) dari suatu titik asal.

Vektor dari titik P ke titik Q dapat ditulis sebagai \( \vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} \).

a. \( \vec{BA} : \vec{BC} \)
Ini menanyakan perbandingan antara vektor \( \vec{BA} \) dan vektor \( \vec{BC} \). Vektor \( \vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} \) dan vektor \( \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \).
Perbandingan \( \vec{BA} : \vec{BC} \) berarti kita mencari skalar \( k \) sehingga \( \vec{BA} = k \vec{BC} \). Ini akan bergantung pada posisi relatif titik A, B, dan C.
Jika A, B, dan C segaris (kolinear) dengan B di antara A dan C, maka \( \vec{BA} \) dan \( \vec{BC} \) searah atau berlawanan arah. Jika A, B, C membentuk segitiga, maka vektor ini tidak memiliki perbandingan skalar sederhana kecuali ada informasi tambahan tentang hubungan antara titik-titik tersebut (misalnya, B adalah titik tengah AC).

b. \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \)
Ini adalah hasil kali titik (dot product) antara vektor \( \vec{BA} \) dan vektor \( \vec{BC} \). Hasil kali titik didefinisikan sebagai \( \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \phi \), di mana \( \phi \) adalah sudut antara kedua vektor.
Jadi, \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos(\angle ABC) \). Nilai ini akan bergantung pada panjang sisi AB, BC, dan sudut ABC.

c. \( \vec{CB} \cdot \vec{AC} \)
Ini adalah hasil kali titik antara vektor \( \vec{CB} \) dan vektor \( \vec{AC} \). Vektor \( \vec{CB} = \vec{B} - \vec{C} = -(\vec{C} - \vec{B}) = -\vec{BC} \). Vektor \( \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} \).
Jadi, \( \vec{CB} \cdot \vec{AC} = (-\vec{BC}) \cdot (\vec{C} - \vec{A}) \). Nilainya akan bergantung pada posisi relatif titik-titik tersebut.

Tanpa gambar spesifik dari segitiga ABC atau informasi tambahan tentang hubungan antar titik, kita hanya bisa memberikan definisi umum dari operasi vektor yang diminta.