Buktikan bahwa: (cosa+sina)/(cosa-sina) = tan2a+sec2a

Identitas terbukti dengan mengubah sisi kiri menjadi tan(45°+a) dan menggunakan manipulasi aljabar serta identitas trigonometri untuk mendapatkan bentuk tan 2a + sec 2a.

Pembahasan

Kita perlu membuktikan identitas trigonometri: (cos a + sin a) / (cos a - sin a) = tan 2a + sec 2a.

Untuk membuktikan ini, kita akan memanipulasi sisi kiri persamaan dan mencoba mengubahnya menjadi sisi kanan.

Kita dapat membagi pembilang dan penyebut dari sisi kiri dengan cos a (dengan asumsi cos a ≠ 0):

(cos a + sin a) / (cos a - sin a) = ( (cos a / cos a) + (sin a / cos a) ) / ( (cos a / cos a) - (sin a / cos a) )
= (1 + tan a) / (1 - tan a)

Sekarang, kita gunakan identitas untuk tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).
Kita tahu bahwa tan 45° = 1. Jadi, kita bisa mengganti 1 dengan tan 45°:

= (tan 45° + tan a) / (1 - tan 45° tan a)
= tan (45° + a)

Sekarang kita perlu menghubungkan ini dengan tan 2a + sec 2a. Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau target pembuktian karena (1 + tan a) / (1 - tan a) bukanlah tan 2a + sec 2a. Identitas yang umum terkait adalah tan(45° + a) = (1 + tan a) / (1 - tan a).

Mari kita coba memanipulasi sisi kanan dari identitas yang diberikan dalam soal, yaitu tan 2a + sec 2a.

tan 2a = sin 2a / cos 2a
sec 2a = 1 / cos 2a

tan 2a + sec 2a = (sin 2a + 1) / cos 2a

Menggunakan identitas sudut ganda:
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos² a - sin² a = 2cos² a - 1 = 1 - 2sin² a

Kita perlu mencari cara untuk mendapatkan (cos a + sin a) / (cos a - sin a).

Kembali ke sisi kiri: (1 + tan a) / (1 - tan a).
Jika kita kalikan pembilang dan penyebut dengan (1 + tan a):
= (1 + tan a)² / (1 - tan² a)
= (1 + 2 tan a + tan² a) / (1 - tan² a)

Kita tahu bahwa tan 2a = 2 tan a / (1 - tan² a).
Jadi, bagian (2 tan a) / (1 - tan² a) berhubungan dengan tan 2a.
Namun, kita masih memiliki 1 + tan² a di pembilang.
1 + tan² a = sec² a.

Jadi, sisi kiri menjadi:
= (sec² a + 2 tan a) / (1 - tan² a)
= sec² a / (1 - tan² a) + 2 tan a / (1 - tan² a)
= sec² a / (1 - tan² a) + tan 2a

Sekarang kita perlu melihat apakah sec² a / (1 - tan² a) sama dengan sec 2a.
Kita tahu cos 2a = (1 - tan² a) / (1 + tan² a).
Jadi, 1 / cos 2a = (1 + tan² a) / (1 - tan² a).
Dan 1 + tan² a = sec² a.
Sehingga, sec 2a = sec² a / (1 - tan² a).

Oleh karena itu, terbukti bahwa:
(cos a + sin a) / (cos a - sin a) = tan 2a + sec 2a

Langkah-langkah:
1. Ubah sisi kiri menjadi (1 + tan a) / (1 - tan a) dengan membagi pembilang dan penyebut dengan cos a.
2. Gunakan identitas tan(45° + a) = (1 + tan a) / (1 - tan a).
3. Kalikan pembilang dan penyebut dari (1 + tan a) / (1 - tan a) dengan (1 + tan a) untuk mendapatkan (1 + 2 tan a + tan² a) / (1 - tan² a).
4. Pisahkan menjadi (1 + tan² a) / (1 - tan² a) + 2 tan a / (1 - tan² a).
5. Gunakan identitas 1 + tan² a = sec² a dan tan 2a = 2 tan a / (1 - tan² a).
6. Gunakan identitas sec 2a = sec² a / (1 - tan² a).
7. Gabungkan kembali untuk mendapatkan tan 2a + sec 2a.