Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x^2+4x-63<0

{x | -9/2 < x < 7/2}

Pembahasan

Untuk mencari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \(4x^2 + 4x - 63 < 0\), kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat \(4x^2 + 4x - 63 = 0\) terlebih dahulu.
Kita bisa menggunakan rumus kuadrat \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) atau dengan faktorisasi.
Mari kita coba faktorisasi. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan \(4 \times -63 = -252\) dan jika dijumlahkan menghasilkan 4.
Bilangan tersebut adalah 18 dan -14 (karena \(18 \times -14 = -252\) dan \(18 + (-14) = 4\)).
Sekarang kita faktorkan:
\(4x^2 + 18x - 14x - 63 = 0
\(2x(2x + 9) - 7(2x + 9) = 0
\((2x - 7)(2x + 9) = 0

Akar-akarnya adalah:
\(2x - 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\(2x + 9 = 0 \implies 2x = -9 \implies x = -\frac{9}{2}

Akar-akarnya adalah \(x = -\frac{9}{2}\) dan \(x = \frac{7}{2}\).
Karena pertidaksamaan adalah \(< 0\), kita mencari nilai \(x\) di mana parabola \(y = 4x^2 + 4x - 63\) berada di bawah sumbu-x.
Parabola ini terbuka ke atas (karena koefisien \(x^2\) positif). Oleh karena itu, nilai \(y\) negatif berada di antara kedua akar.

Himpunan penyelesaiannya adalah \(-\frac{9}{2} < x < \frac{7}{2}\).
Dalam notasi interval, ini adalah \((-\frac{9}{2}, \frac{7}{2})\).