Buktikan bahwa: integral [f'(x)g(x)+g'(x)f(x)]

Identitas terbukti dengan menggunakan aturan hasil kali turunan. Penerapan pada integral spesifik sulit dilakukan tanpa manipulasi lebih lanjut atau klarifikasi soal.

Pembahasan

Akan dibuktikan bahwa: ∫[f'(x)g(x)+g'(x)f(x)] dx = f(x)g(x) + C.
Kita tahu bahwa hasil kali turunan dari dua fungsi f(x) dan g(x) adalah:
d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + g'(x)f(x).
Dengan mengintegralkan kedua sisi persamaan ini terhadap x, kita mendapatkan:
∫ d/dx [f(x)g(x)] dx = ∫ [f'(x)g(x) + g'(x)f(x)] dx.
Integral dari turunan suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah konstanta integrasi (C).
Jadi, f(x)g(x) = ∫ [f'(x)g(x) + g'(x)f(x)] dx.
Ini membuktikan identitas yang diberikan.

Sekarang, kita gunakan rumus ini untuk menentukan: ∫ [(x²)/(2√(x-1) + 2x√(x-1))] dx.
Pertama, kita sederhanakan penyebutnya:
2√(x-1) + 2x√(x-1) = 2√(x-1) (1 + x).
Jadi, integralnya menjadi: ∫ [x² / (2√(x-1) (1 + x))] dx.

Integral ini tidak secara langsung cocok dengan bentuk ∫ [f'(x)g(x) + g'(x)f(x)] dx. Perlu ada manipulasi aljabar atau substitusi.

Mari kita coba identifikasi f(x) dan g(x) yang mungkin.
Jika kita melihat penyebutnya, ada faktor √(x-1). Ini mengingatkan pada turunan dari (x-1)^(3/2) atau sejenisnya.

Mari kita coba substitusi u = x-1, maka du = dx dan x = u+1.
Integral menjadi: ∫ [(u+1)² / (2√u (1 + u+1))] du
= ∫ [(u² + 2u + 1) / (2√u (u+2))] du
= ∫ [(u² + 2u + 1) / (2u^(1/2) (u+2))] du
= 1/2 ∫ [(u^(3/2) + 2u^(1/2) + u^(-1/2))] / (u+2) du

Ini tampaknya menjadi lebih rumit.

Mari kita kembali ke bentuk asli integral dan coba manipulasi agar sesuai dengan ∫[f'(x)g(x)+g'(x)f(x)] dx.
Bentuknya adalah ∫ [x² / (2√(x-1)(1+x))] dx.

Perhatikan bahwa f(x)g(x) memiliki bentuk x² di pembilang dan akar di penyebut. Ini agak sulit untuk dicocokkan secara langsung.

Mungkin ada kesalahan dalam menyalin soalnya?
Jika kita perhatikan lagi identitasnya: d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + g'(x)f(x).

Mari kita coba bentuk lain dari integral.
Jika kita memiliki ∫ [f(x)g'(x) + f'(x)g(x)] dx = f(x)g(x) + C.

Mari kita periksa apakah ada bentuk yang bisa diidentifikasi.
Dalam soal: ∫ [x² / (2√(x-1) + 2x√(x-1))] dx.
Penyebut = 2√(x-1)(1+x).

Misalkan kita coba memilih f(x) dan g(x) sehingga hasil kali turunan mereka mendekati bentuk ini.

Jika f(x) = x dan g(x) = x / (2√(x-1)(1+x)), maka ini tidak membantu.

Mari kita pertimbangkan bentuk yang lebih sederhana yang menggunakan identitas ini.
Contoh: ∫ [e^x * x + e^x * 1] dx = ∫ e^x (x+1) dx. Di sini f(x) = e^x, g(x) = x. Maka ∫ [f'(x)g(x) + g'(x)f(x)] dx = ∫ [e^x * x + 1 * e^x] dx = e^x * x + C.

Kembali ke soal: ∫ [x² / (2√(x-1) + 2x√(x-1))] dx.

Jika kita memisalkan f(x) dan g(x) sedemikian rupa sehingga f(x)g(x) = x² / (2√(x-1)), dan kita perlu mencari g'(x)f(x) atau f'(x)g(x) yang sesuai.

Ini tampaknya merupakan soal yang kompleks dan mungkin memerlukan teknik integrasi lanjutan atau ada kesalahan dalam soalnya karena tidak langsung terlihat cocok dengan identitas yang diberikan. Jika soalnya adalah mencari integral dari (x^2)' * sqrt(x-1) + (sqrt(x-1))' * x^2, maka itu akan lebih mudah.

Mari kita coba analisis ulang penyebutnya: 2√(x-1) + 2x√(x-1).

Jika kita misalkan f(x) = x^2 / (2√(x-1)), maka kita perlu mencari f'(x).
f'(x) = [ (2x * 2√(x-1)) - (x² * 2 * 1/2 * (x-1)^(-1/2)) ] / (2√(x-1))²
f'(x) = [ 4x√(x-1) - x²/(√(x-1)) ] / (4(x-1))
f'(x) = [ (4x(x-1) - x²) / √(x-1) ] / (4(x-1))
f'(x) = [ 4x² - 4x - x² ] / (4(x-1)√(x-1))
f'(x) = (3x² - 4x) / (4(x-1)√(x-1)).

Ini tidak tampak cocok dengan struktur soal.

Mungkin soalnya adalah mengintegralkan sesuatu yang turunannya adalah x² / (2√(x-1) + 2x√(x-1)).

Mari kita coba identifikasi f(x) dan g(x) dari hasil akhir f(x)g(x).
Jika kita coba f(x) = x dan g(x) = x / (2√(x-1)(1+x)), maka f'(x)=1.
Bentuk yang diperlukan adalah f'(x)g(x) + g'(x)f(x).
Ini adalah 1 * [x / (2√(x-1)(1+x))] + g'(x) * x.
Ini tidak cocok.

Karena soal meminta untuk membuktikan identitas terlebih dahulu dan kemudian menggunakannya, mari kita fokus pada bagaimana bentuk integral yang diberikan dapat diubah menjadi bentuk f'(x)g(x) + g'(x)f(x).

Integral yang diberikan adalah: ∫ [x² / (2√(x-1)(1+x))] dx.

Jika kita memiliki f(x)g(x) = x^(3/2) / (2√(x-1)), ini juga rumit.

Kemungkinan besar soal ini membutuhkan manipulasi aljabar yang cermat atau ada kesalahan ketik pada soal.
Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan pemahaman identitas, kita harus mengidentifikasi f(x) dan g(x) yang ketika diturunkan sesuai dengan integrand.

Mari kita coba kembali ke integral awal dan lihat apakah ada pola yang bisa dieksploitasi:
∫ [x² / (2√(x-1) + 2x√(x-1))] dx
= ∫ [x² / (2√(x-1)(1+x))] dx

Jika kita misalkan f(x) = x^2 / (2√(x-1)), maka f'(x) = (3x^2 - 4x) / (4(x-1)√(x-1)).
Jika kita misalkan g(x) = 1 / (1+x), maka g'(x) = -1 / (1+x)².

Ini tidak mengarah ke solusi yang jelas.

Namun, jika soal tersebut dimaksudkan untuk menjadi sesuatu yang lebih sederhana, misalnya, jika integralnya adalah ∫ [ (x^2)' * √(x-1) + (√(x-1))' * x^2 ] dx, maka f(x) = x^2 dan g(x) = √(x-1).
Atau f(x) = √(x-1) dan g(x) = x^2.

Mari kita coba analisis soalnya lagi. Buktikan bahwa: integral [f'(x)g(x)+g'(x)f(x)] dx=f(x).g(x)+C. Gunakan rumus tersebut untuk menentukan: integral [(x^2)/(2 akar(x-1+2x akar(x-1)] dx 

Ada kemungkinan bahwa bagian dalam integral tersebut bisa disederhanakan menjadi bentuk f'(x)g(x) + g'(x)f(x).

Penyebut = 2√(x-1) + 2x√(x-1) = 2√(x-1)(1+x).

Jika kita mencoba f(x) = x^2 / (2√(x-1)), kita butuh g(x) yang turunannya menghasilkan 1/(1+x).

Kemungkinan besar, soal ini memerlukan identifikasi f(x) dan g(x) yang spesifik sehingga integrandnya cocok. Namun, tanpa manipulasi lebih lanjut atau klarifikasi soal, sulit untuk memberikan solusi langkah demi langkah yang pasti.

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan pengetikan dan integralnya adalah:
∫ [ 2x * √(x-1) + x^2 * (1/2√(x-1)) ] dx
Ini akan menjadi ∫ [ f(x)g'(x) + f'(x)g(x) ] dx jika f(x) = x^2 dan g(x) = √(x-1) atau sebaliknya.
Jika f(x) = x^2, f'(x) = 2x. Jika g(x) = √(x-1), g'(x) = 1/(2√(x-1)).
Maka integralnya adalah ∫ [ g'(x)f(x) + f'(x)g(x) ] dx = f(x)g(x) + C = x^2√(x-1) + C.

Namun, soal yang diberikan adalah ∫ [x² / (2√(x-1)(1+x))] dx.

Ada kemungkinan bahwa f(x)g(x) = x^2 / (2√(x-1)(1+x)), tapi ini tidak mungkin karena itu adalah integrandnya, bukan hasil kali fungsinya.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika kita bisa menulis ulang integrandnya sebagai hasil kali turunan:
Integrand = x² / (2√(x-1)(1+x))

Jika kita misalkan f(x) = x / √(x-1) dan g(x) = x / (1+x).

Ini adalah soal yang cukup menantang jika tidak ada petunjuk tambahan atau jika ada kesalahan dalam penulisan soal.

Saya akan memberikan jawaban berdasarkan bukti identitas, dan menyatakan bahwa penerapan pada soal spesifik memerlukan klarifikasi atau teknik yang lebih lanjut.