Buktikan bahwa:integral (x^4+1)/(x^2

Identitas terbukti dengan menurunkan hasil integral.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas integral $\int \frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}} dx = \frac{\sqrt{x^4-1}}{x} + C$, kita dapat mencoba memanipulasi integralnya atau menggunakan metode substitusi.

Mari kita coba manipulasi integralnya:
Integral yang diberikan adalah $\int \frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}} dx$.
Kita bisa memisahkan pembilang menjadi dua bagian:
$\int \frac{x^4}{x^2\sqrt{x^4-1}} dx + \int \frac{1}{x^2\sqrt{x^4-1}} dx$
$= \int \frac{x^2}{\sqrt{x^4-1}} dx + \int \frac{1}{x^2\sqrt{x^4-1}} dx$

Perhatikan bahwa $\sqrt{x^4-1} = \sqrt{(x^2-1)(x^2+1)}$.
Identitas ini agak rumit untuk dibuktikan secara langsung dengan manipulasi aljabar sederhana atau substitusi trigonometri standar karena adanya $x^4-1$ di bawah akar kuadrat dan suku $x^2$ di penyebut. Seringkali, pembuktian identitas integral semacam ini melibatkan teknik yang lebih lanjut atau pengenalan fungsi khusus.

Namun, jika kita ambil hasil yang diberikan dan turunkan terhadap $x$, kita dapat memverifikasi apakah hasilnya kembali ke integrand awal.
Misalkan $f(x) = \frac{\sqrt{x^4-1}}{x}$.
Kita gunakan aturan pembagian untuk mencari $f'(x)$: $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, di mana $u = \sqrt{x^4-1}$ dan $v = x$.

Turunan dari $u = (x^4-1)^{1/2}$ adalah $u' = \frac{1}{2}(x^4-1)^{-1/2} \cdot 4x^3 = \frac{2x^3}{\sqrt{x^4-1}}$.
Turunan dari $v = x$ adalah $v' = 1$.

Maka,
$f'(x) = \frac{(\frac{2x^3}{\sqrt{x^4-1}}) \cdot x - \sqrt{x^4-1} \cdot 1}{x^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4}{\sqrt{x^4-1}} - \sqrt{x^4-1}}{x^2}$

Untuk menyederhanakan pembilang, samakan penyebutnya:
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4 - (\sqrt{x^4-1})^2}{\sqrt{x^4-1}}}{x^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4 - (x^4-1)}{\sqrt{x^4-1}}}{x^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4 - x^4 + 1}{\sqrt{x^4-1}}}{x^2}$
$f'(x) = \frac{\frac{x^4 + 1}{\sqrt{x^4-1}}}{x^2}$
$f'(x) = \frac{x^4 + 1}{x^2\sqrt{x^4-1}}$

Hasil turunan dari $\frac{\sqrt{x^4-1}}{x}$ adalah $\frac{x^4+1}{x^2\sqrt{x^4-1}}$, yang merupakan integrand awal. Oleh karena itu, identitas integral tersebut terbukti benar.