Buktikan bahwa luas segiempat ABCD sembarang pada gambar di

Luas segiempat ABCD = 1/2 * AC * BD * sin θ

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa luas segiempat ABCD sembarang adalah L = 1/2 * AC * BD * sin θ, kita dapat membagi segiempat tersebut menjadi dua segitiga menggunakan salah satu diagonalnya, misalnya diagonal AC.

Luas segiempat ABCD = Luas segitiga ABC + Luas segitiga ADC.

Misalkan diagonal AC dan BD berpotongan di titik P. Sudut yang dibentuk oleh kedua diagonal adalah θ (dan sudut lain yang berpelurus adalah 180° - θ).

Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan rumus: 1/2 * alas * tinggi. Jika kita mengambil AC sebagai alas, maka tinggi segitiga dari titik B ke garis AC adalah BP * sin(sudut antara AC dan BP). Namun, ini menjadi rumit.

Cara yang lebih umum adalah menggunakan rumus luas segitiga jika diketahui dua sisi dan sudut yang diapitnya:
Luas = 1/2 * a * b * sin(C).

Kita perlu mengekspresikan luas segitiga ABC dan ADC dalam kaitannya dengan panjang diagonal dan sudut yang terbentuk.

Misalkan panjang AP = p1, PC = p2, BP = q1, PD = q2. Maka AC = p1 + p2 dan BD = q1 + q2.
Misalkan sudut APB = θ. Maka sudut BPC = 180° - θ, sudut CPD = θ, dan sudut DPA = 180° - θ.

Luas segitiga APB = 1/2 * AP * BP * sin(∠APB) = 1/2 * p1 * q1 * sin(θ)
Luas segitiga BPC = 1/2 * BP * PC * sin(∠BPC) = 1/2 * q1 * p2 * sin(180° - θ) = 1/2 * q1 * p2 * sin(θ) (karena sin(180° - θ) = sin(θ))
Luas segitiga CPD = 1/2 * PC * PD * sin(∠CPD) = 1/2 * p2 * q2 * sin(θ)
Luas segitiga DPA = 1/2 * PD * AP * sin(∠DPA) = 1/2 * q2 * p1 * sin(180° - θ) = 1/2 * q2 * p1 * sin(θ)

Luas segiempat ABCD = Luas ΔAPB + Luas ΔBPC + Luas ΔCPD + Luas ΔDPA
Luas ABCD = 1/2 p1 q1 sin(θ) + 1/2 q1 p2 sin(θ) + 1/2 p2 q2 sin(θ) + 1/2 q2 p1 sin(θ)
Luas ABCD = 1/2 sin(θ) [p1 q1 + q1 p2 + p2 q2 + q2 p1]
Luas ABCD = 1/2 sin(θ) [q1(p1 + p2) + q2(p2 + p1)]
Luas ABCD = 1/2 sin(θ) [q1(AC) + q2(AC)]
Luas ABCD = 1/2 sin(θ) * AC * (q1 + q2)
Luas ABCD = 1/2 sin(θ) * AC * BD

Jadi terbukti bahwa luas segiempat ABCD sembarang adalah L = 1/2 * AC * BD * sin θ, di mana θ adalah salah satu sudut yang dibentuk oleh perpotongan kedua diagonalnya.