Buktikan bahwa persamaan lingkaran yang melalui (1,1) dan

Persamaan lingkaran yang dimaksud terbukti benar dengan menggunakan konsep berkas lingkaran dan mensubstitusikan titik yang diketahui untuk menemukan konstanta berkas.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa persamaan lingkaran yang melalui titik (1,1) dan titik potong kedua lingkaran L1 (x^2+y^2+13x-3y=0) dan L2 (2x^2+2y^2+4x-7y-25=0) adalah 4x^2+4y^2+30x-13y-25=0, kita dapat menggunakan konsep berkas lingkaran.

Persamaan umum berkas lingkaran yang melalui titik potong dua lingkaran L1=0 dan L2=0 adalah L1 + k*L2 = 0, di mana k adalah konstanta.

Namun, karena L2 memiliki koefisien 2 pada suku x^2 dan y^2, kita perlu menyesuaikannya agar koefisiennya sama dengan L1 untuk membentuk persamaan berkas yang lebih sederhana, atau bekerja dengan persamaan asli.

Kita bisa membuat persamaan L2 menjadi x^2+y^2+2x - (7/2)y - 25/2 = 0 dengan membaginya dengan 2.

Persamaan berkas lingkaran yang melalui titik potong L1=0 dan L2=0 adalah L1 + k*L2' = 0, di mana L2' adalah L2 setelah dibagi 2.
(x^2+y^2+13x-3y) + k(x^2+y^2+2x - (7/2)y - 25/2) = 0
(1+k)x^2 + (1+k)y^2 + (13+2k)x + (-3 - 7k/2)y - 25k/2 = 0

Kita tahu bahwa lingkaran ini melalui titik (1,1). Substitusikan x=1 dan y=1 ke dalam persamaan berkas:
(1+k)(1)^2 + (1+k)(1)^2 + (13+2k)(1) + (-3 - 7k/2)(1) - 25k/2 = 0
(1+k) + (1+k) + (13+2k) + (-3 - 7k/2) - 25k/2 = 0
1+k+1+k+13+2k-3-7k/2-25k/2 = 0
(1+1+13-3) + (k+k+2k - 7k/2 - 25k/2) = 0
12 + (4k - 32k/2) = 0
12 + (4k - 16k) = 0
12 - 12k = 0
12k = 12
k = 1

Sekarang, substitusikan nilai k=1 kembali ke dalam persamaan berkas:
(1+1)x^2 + (1+1)y^2 + (13+2*1)x + (-3 - 7*1/2)y - 25*1/2 = 0
2x^2 + 2y^2 + 15x + (-3 - 7/2)y - 25/2 = 0
2x^2 + 2y^2 + 15x + (-6/2 - 7/2)y - 25/2 = 0
2x^2 + 2y^2 + 15x - 13/2 y - 25/2 = 0

Untuk mendapatkan bentuk yang diminta (4x^2+4y^2+30x-13y-25=0), kita kalikan seluruh persamaan dengan 2:
2 * (2x^2 + 2y^2 + 15x - 13/2 y - 25/2) = 2 * 0
4x^2 + 4y^2 + 30x - 13y - 25 = 0

Ini sesuai dengan persamaan yang diminta. Jadi, terbukti bahwa persamaan lingkaran yang melalui titik (1,1) dan titik potong kedua lingkaran L1 dan L2 adalah 4x^2+4y^2+30x-13y-25=0.