Buktikan bahwa rumusan berikut ini berlaku untuk setiap

Rumus terbukti berlaku menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa rumusan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n² + n berlaku untuk setiap bilangan asli n, kita dapat menggunakan Prinsip Induksi Matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Untuk n=1, sisi kiri = 2(1) = 2.
Untuk n=1, sisi kanan = 1² + 1 = 1 + 1 = 2.
Karena sisi kiri = sisi kanan, maka rumus berlaku untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa rumus berlaku untuk suatu bilangan asli k, yaitu:
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k² + k

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa rumus berlaku untuk n = k+1, yaitu:
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k+1) = (k+1)² + (k+1)

Mulai dari sisi kiri:
(2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2(k+1)

Gunakan hipotesis induksi (k² + k) untuk menggantikan bagian dalam kurung:
= (k² + k) + 2(k+1)
= k² + k + 2k + 2
= k² + 3k + 2

Sekarang, mari kita sederhanakan sisi kanan dari pernyataan untuk n = k+1:
(k+1)² + (k+1)
= (k² + 2k + 1) + (k+1)
= k² + 2k + 1 + k + 1
= k² + 3k + 2

Karena sisi kiri (setelah disederhanakan) sama dengan sisi kanan (setelah disederhanakan), yaitu k² + 3k + 2, maka rumus tersebut terbukti berlaku untuk n = k+1.

Kesimpulan:
Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, rumusan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n² + n berlaku untuk setiap bilangan asli n.