Hitunglah nilai limit menuju tak hingga berikut. lim x

$\frac{3\sqrt{2}-4}{4}$

Pembahasan

Untuk menghitung limit menuju tak hingga dari 
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x \sqrt{2}+1)$,
pertama-tama kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam akar:
$(2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$.

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to \infty} \sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x \sqrt{2}+1)$

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode perkalian sekawan.
Kalikan ekspresi dengan sekawannya:
$\left(\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x \sqrt{2}+1)\right) \times \frac{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x \sqrt{2}+1)}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x \sqrt{2}+1)}$

Ini sama dengan:
$\frac{(2x^2 + 3x - 2) - (x \sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x \sqrt{2}+1)}$

Jabarkan $(x \sqrt{2}+1)^2 = (x\sqrt{2})^2 + 2(x\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2x^2 + 2x\sqrt{2} + 1$.

Maka, pembilangnya menjadi:
$2x^2 + 3x - 2 - (2x^2 + 2x\sqrt{2} + 1)$
$= 2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 - 2x\sqrt{2} - 1$
$= 3x - 2x\sqrt{2} - 3$
$= x(3 - 2\sqrt{2}) - 3$

Sekarang, limitnya adalah:
$\lim_{x \to \infty} \frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x \sqrt{2}+1}$

Untuk menyelesaikan limit saat $x \to \infty$, kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x, yaitu x.
Pembilang menjadi: $\frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{x} = (3 - 2\sqrt{2}) - \frac{3}{x}$

Penyebut menjadi: $\frac{\sqrt{2x^2 + 3x - 2}}{x} + \frac{x \sqrt{2}}{x} + \frac{1}{x}$
$= \sqrt{\frac{2x^2 + 3x - 2}{x^2}} + \sqrt{2} + \frac{1}{x}$
$= \sqrt{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} + \sqrt{2} + \frac{1}{x}$

Saat $x \to \infty$, suku-suku dengan $\frac{1}{x}$ atau $\frac{1}{x^2}$ akan mendekati 0.

Maka, limitnya menjadi:
$\frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}}$
$= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$:
$= \frac{(3 - 2\sqrt{2})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}$
$= \frac{3\sqrt{2} - 2(2)}{2(2)}$
$= \frac{3\sqrt{2} - 4}{4}$
$= \frac{3}{4}\sqrt{2} - 1$

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{3\sqrt{2}-4}{4}$.