Buktikan bahwa:tan 4a=(4 tan a-4 tan^3 a)/(1-6 tan^2

Terbukti menggunakan rumus sudut ganda tan 2x.

Pembahasan

Kita akan membuktikan identitas trigonometri tan 4a = (4 tan a - 4 tan^3 a) / (1 - 6 tan^2 a + tan^4 a) dengan menggunakan rumus sudut ganda dan identitas trigonometri lainnya.

Langkah 1: Gunakan rumus tan 2x = (2 tan x) / (1 - tan^2 x).
Kita bisa menulis tan 4a sebagai tan(2 * 2a).
Maka, tan 4a = (2 tan 2a) / (1 - tan^2 2a).

Langkah 2: Ekspresikan tan 2a dalam bentuk tan a.
Substitusikan tan 2a = (2 tan a) / (1 - tan^2 a) ke dalam persamaan tan 4a.

2 tan 2a = 2 * [(2 tan a) / (1 - tan^2 a)] = (4 tan a) / (1 - tan^2 a).

tan^2 2a = [(2 tan a) / (1 - tan^2 a)]^2 = (4 tan^2 a) / (1 - tan^2 a)^2.

Langkah 3: Substitusikan kembali ke rumus tan 4a.
tan 4a = [(4 tan a) / (1 - tan^2 a)] / [1 - (4 tan^2 a) / (1 - tan^2 a)^2]

Sederhanakan penyebutnya:
1 - (4 tan^2 a) / (1 - tan^2 a)^2 = [(1 - tan^2 a)^2 - 4 tan^2 a] / (1 - tan^2 a)^2
= [1 - 2 tan^2 a + tan^4 a - 4 tan^2 a] / (1 - tan^2 a)^2
= [1 - 6 tan^2 a + tan^4 a] / (1 - tan^2 a)^2

Sekarang substitusikan kembali ke dalam ekspresi tan 4a:
tan 4a = [(4 tan a) / (1 - tan^2 a)] / [[1 - 6 tan^2 a + tan^4 a] / (1 - tan^2 a)^2]

Untuk membagi pecahan, kita kalikan dengan kebalikan dari penyebutnya:
tan 4a = [(4 tan a) / (1 - tan^2 a)] * [(1 - tan^2 a)^2 / (1 - 6 tan^2 a + tan^4 a)]

Kita dapat membatalkan satu faktor (1 - tan^2 a) dari pembilang dan penyebut:
tan 4a = (4 tan a) * [(1 - tan^2 a) / (1 - 6 tan^2 a + tan^4 a)]
tan 4a = (4 tan a - 4 tan^3 a) / (1 - 6 tan^2 a + tan^4 a)

Terbukti bahwa tan 4a = (4 tan a - 4 tan^3 a) / (1 - 6 tan^2 a + tan^4 a).