Carilah penyelesaian umum persamaan diferensial berikut.

Penyelesaian umum: y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ + K]. Penyelesaian khusus: y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ - 2.2].

Pembahasan

Persamaan diferensial yang diberikan adalah dy/dx = -y²x(x²+2)⁴. Ini adalah persamaan diferensial terpisah.

Langkah 1: Pisahkan variabel y dan x.
Kita dapat menulis ulang persamaan sebagai:
(1/y²) dy = -x(x²+2)⁴ dx

Langkah 2: Integralkan kedua sisi.
∫(1/y²) dy = ∫-x(x²+2)⁴ dx

Integral sisi kiri:
∫y⁻² dy = -y⁻¹ = -1/y

Integral sisi kanan:
Untuk mengintegralkan ∫-x(x²+2)⁴ dx, kita dapat menggunakan substitusi u = x² + 2. Maka, du = 2x dx, atau x dx = du/2.

∫-x(x²+2)⁴ dx = ∫-(u)⁴ (du/2)
= -1/2 ∫u⁴ du
= -1/2 * (u⁵ / 5) + C
= -1/10 u⁵ + C

Gantikan kembali u = x² + 2:
= -1/10 (x² + 2)⁵ + C

Langkah 3: Gabungkan hasil integral untuk mendapatkan penyelesaian umum.
-1/y = -1/10 (x² + 2)⁵ + C
1/y = 1/10 (x² + 2)⁵ - C
Karena C adalah konstanta sembarang, kita bisa menggantinya dengan -C atau konstanta baru, misalnya K = -C.
1/y = 1/10 (x² + 2)⁵ + K
y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ + K]

Ini adalah penyelesaian umum dari persamaan diferensial tersebut.

Langkah 4: Tentukan penyelesaian khusus menggunakan syarat yang diberikan (y=1 saat x=0).
Gantikan x=0 dan y=1 ke dalam penyelesaian umum:
1 = 1 / [1/10 (0² + 2)⁵ + K]
1 = 1 / [1/10 (2)⁵ + K]
1 = 1 / [1/10 (32) + K]
1 = 1 / [3.2 + K]

Sekarang, selesaikan untuk K:
3.2 + K = 1
K = 1 - 3.2
K = -2.2

Langkah 5: Substitusikan nilai K ke dalam penyelesaian umum.
Penyelesaian khusus adalah:
y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ - 2.2]

Jadi, penyelesaian umumnya adalah y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ + K] dan penyelesaian khususnya adalah y = 1 / [1/10 (x² + 2)⁵ - 2.2].