Buktikan dengan cara induksi matematika: 1^3+2^3+3^3+

Pernyataan terbukti benar dengan induksi matematika melalui basis induksi dan langkah induksi.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +n^3=\frac{(n^2(n+1))^2}{4}$ dengan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1:
Sisi kiri = $1^3 = 1$
Sisi kanan = $\frac{(1^2(1+1))^2}{4} = \frac{(1(2))^2}{4} = \frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Karena sisi kiri = sisi kanan, maka pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, di mana k adalah bilangan bulat positif.
$1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +k^3=\frac{(k^2(k+1))^2}{4}$

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Kita harus membuktikan bahwa:
$1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +k^3+(k+1)^3 = \frac{((k+1)^2((k+1)+1))^2}{4}$

Gunakan hipotesis induksi:
$ \frac{(k^2(k+1))^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{((k+1)^2(k+2))^2}{4}$

Samakan penyebutnya:
$\frac{(k^2(k+1))^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{((k+1)^2(k+2))^2}{4}$

Kalikan kedua sisi dengan 4:
$(k^2(k+1))^2 + 4(k+1)^3 = ((k+1)^2(k+2))^2$

Faktorkan $(k+1)^2$ dari sisi kiri:
$(k+1)^2 [k^2(k+1) + 4(k+1)] = ((k+1)^2(k+2))^2$
$(k+1)^2 [(k+1)(k^2 + 4)] = ((k+1)^2(k+2))^2$

Kesalahan dalam soal asli. Rumus yang benar adalah $1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

Mari kita buktikan rumus yang benar:
$1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
$1^3 = \frac{1^2(1+1)^2}{4} \Rightarrow 1 = \frac{1(2)^2}{4} \Rightarrow 1 = \frac{4}{4} \Rightarrow 1=1$. (Benar)

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan benar untuk n=k: $1^3+2^3+ 	ext{{ .... }} +k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

Langkah 3: Langkah Induksi
Buktikan benar untuk n=k+1: $1^3+2^3+ 	ext{{ .... }} +k^3+(k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

$ \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
$(k+1)^2 [\frac{k^2}{4} + (k+1)] = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
$(k+1)^2 [\frac{k^2 + 4(k+1)}{4}] = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
$(k+1)^2 [\frac{k^2 + 4k + 4}{4}] = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
$(k+1)^2 [\frac{(k+2)^2}{4}] = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$
$\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$. (Benar)

Kesimpulan: Pernyataan $1^3+2^3+3^3+ 	ext{{ .... }} +n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ terbukti benar dengan induksi matematika.