Buktikan dengan induksi matematika bahwa pernyatakan

Pernyataan terbukti benar untuk $n=1$. Dengan asumsi benar untuk $n=k$, dibuktikan juga benar untuk $n=k+1$ melalui langkah-langkah aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $\sum_{i=1}^{n} i(i+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)$ dengan induksi matematika, kita perlu melakukan dua langkah:

1.  **Basis Induksi:** Periksa apakah pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.
    Sisi kiri: $\sum_{i=1}^{1} i(i+1)^2 = 1(1+1)^2 = 1(2)^2 = 1 \times 4 = 4$.
    Sisi kanan: $\frac{1}{12}(1)(1+1)(1+2)(3(1)+5) = \frac{1}{12}(1)(2)(3)(8) = \frac{48}{12} = 4$.
    Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.

2.  **Langkah Induksi:** Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan asli $k$, yaitu $\sum_{i=1}^{k} i(i+1)^2 = \frac{1}{12}k(k+1)(k+2)(3k+5)$.
    Kemudian, kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n=k+1$, yaitu $\sum_{i=1}^{k+1} i(i+1)^2 = \frac{1}{12}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)(3(k+1)+5) = \frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)$.

    Mari kita mulai dari sisi kiri untuk $n=k+1$:
    $\sum_{i=1}^{k+1} i(i+1)^2 = \sum_{i=1}^{k} i(i+1)^2 + (k+1)((k+1)+1)^2$
    $= \sum_{i=1}^{k} i(i+1)^2 + (k+1)(k+2)^2$

    Gunakan asumsi induksi untuk mengganti $\sum_{i=1}^{k} i(i+1)^2$:
    $= \frac{1}{12}k(k+1)(k+2)(3k+5) + (k+1)(k+2)^2$

    Sekarang, faktorkan $(k+1)(k+2)$ dari kedua suku:
    $= (k+1)(k+2) \left[ \frac{1}{12}k(3k+5) + (k+2) \right]$

    Sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku:
    $= (k+1)(k+2) \left[ \frac{3k^2+5k}{12} + \frac{12(k+2)}{12} \right]$
    $= (k+1)(k+2) \left[ \frac{3k^2+5k + 12k+24}{12} \right]$
    $= (k+1)(k+2) \left[ \frac{3k^2+17k+24}{12} \right]$

    Sekarang, faktorkan polinomial kuadrat $3k^2+17k+24$. Kita cari dua bilangan yang hasil kalinya $3 \times 24 = 72$ dan jumlahnya $17$. Bilangan tersebut adalah $8$ dan $9$.
    $3k^2+17k+24 = 3k^2+9k+8k+24$
    $= 3k(k+3)+8(k+3)$
    $= (3k+8)(k+3)$

    Jadi, ekspresi menjadi:
    $= (k+1)(k+2) \frac{(3k+8)(k+3)}{12}$
    $= \frac{1}{12}(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)$

    Ini adalah bentuk pernyataan untuk $n=k+1$. Oleh karena itu, menurut prinsip induksi matematika, pernyataan tersebut benar untuk setiap bilangan asli $n$.