Jika 0<=x<=8 maka nilai-nilai x yang memenuhi sin 1/4 pi x

Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah $0 < x < 2$ atau $6 < x < 8$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x > 0$ dengan batasan $0 \le x \le 8$, kita perlu menganalisis tanda dari kedua fungsi sinus tersebut.

Mari kita tentukan nilai-nilai x di mana $\sin \frac{\pi}{4} x = 0$ dan $\sin \frac{\pi}{2} x = 0$ dalam interval $[0, 8]$.

1.  $\sin \frac{\pi}{4} x = 0$
    Ini terjadi ketika $\frac{\pi}{4} x = k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
    $x = 4k$.
    Dalam interval $[0, 8]$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=0$ (untuk $k=0$), $x=4$ (untuk $k=1$), dan $x=8$ (untuk $k=2$).

2.  $\sin \frac{\pi}{2} x = 0$
    Ini terjadi ketika $\frac{\pi}{2} x = m\pi$, di mana $m$ adalah bilangan bulat.
    $x = 2m$.
    Dalam interval $[0, 8]$, nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=0$ (untuk $m=0$), $x=2$ (untuk $m=1$), $x=4$ (untuk $m=2$), $x=6$ (untuk $m=3$), dan $x=8$ (untuk $m=4$).

Nilai-nilai kritis yang membagi interval $[0, 8]$ menjadi subinterval adalah $0, 2, 4, 6, 8$.
Sekarang kita uji tanda dari $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x$ di setiap subinterval:

-   **Interval $(0, 2)$:** Ambil $x=1$.
    $\sin \frac{\pi}{4}(1) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$
    $\sin \frac{\pi}{2}(1) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 > 0$
    Hasil kali: $(+) \times (+) = (+)$. Jadi, $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x > 0$ untuk $x \in (0, 2)$.

-   **Interval $(2, 4)$:** Ambil $x=3$.
    $\sin \frac{\pi}{4}(3) = \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} > 0$
    $\sin \frac{\pi}{2}(3) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 < 0$
    Hasil kali: $(+) \times (-) = (-)$. Jadi, $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x < 0$ untuk $x \in (2, 4)$.

-   **Interval $(4, 6)$:** Ambil $x=5$.
    $\sin \frac{\pi}{4}(5) = \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$
    $\sin \frac{\pi}{2}(5) = \sin \frac{5\pi}{2} = \sin (2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin \frac{\pi}{2} = 1 > 0$
    Hasil kali: $(-) \times (+) = (-)$. Jadi, $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x < 0$ untuk $x \in (4, 6)$.

-   **Interval $(6, 8)$:** Ambil $x=7$.
    $\sin \frac{\pi}{4}(7) = \sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} < 0$
    $\sin \frac{\pi}{2}(7) = \sin \frac{7\pi}{2} = \sin (3\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin (2\pi + \frac{3\pi}{2}) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1 < 0$
    Hasil kali: $(-) \times (-) = (+)$. Jadi, $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x > 0$ untuk $x \in (6, 8)$.

Pertidaksamaan $\sin \frac{\pi}{4} x \sin \frac{\pi}{2} x > 0$ terpenuhi pada interval $(0, 2)$ dan $(6, 8)$.

Jadi, nilai-nilai $x$ yang memenuhi adalah $0 < x < 2$ atau $6 < x < 8$.