Diketahui fungsi f(x)=(x-3)/(2x+5), x =/= (-5/2) dan f^(-1)

$f^{-1}(1) = -8$

Pembahasan

Untuk mencari nilai $f^{-1}(1)$, kita perlu mencari nilai $x$ sedemikian sehingga $f(x) = 1$.

Diketahui fungsi $f(x) = \frac{x-3}{2x+5}$.
Kita atur $f(x) = 1$:
$\frac{x-3}{2x+5} = 1$

Kalikan kedua sisi dengan $(2x+5)$ untuk menghilangkan penyebut (dengan syarat $2x+5 \ne 0$, yang berarti $x \ne -5/2$):
$x-3 = 1(2x+5)$
$x-3 = 2x+5$

Pindahkan suku-suku $x$ ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
$x - 2x = 5 + 3$
$-x = 8$
$x = -8$

Jadi, nilai $x$ yang membuat $f(x) = 1$ adalah $-8$. Ini berarti $f^{-1}(1) = -8$.

Cara lain adalah dengan mencari rumus invers $f^{-1}(x)$ terlebih dahulu.
Misalkan $y = f(x)$, maka $y = \frac{x-3}{2x+5}$.
Tukar $x$ dan $y$ untuk mendapatkan invers:
$x = \frac{y-3}{2y+5}$

Sekarang, selesaikan untuk $y$:
$x(2y+5) = y-3$
$2xy + 5x = y-3$

Pindahkan semua suku yang mengandung $y$ ke satu sisi:
$2xy - y = -5x - 3$

Faktorkan $y$:
$y(2x - 1) = -5x - 3$

Bagi dengan $(2x-1)$ untuk mendapatkan $y = f^{-1}(x)$ (dengan syarat $2x-1 \ne 0$, yaitu $x \ne 1/2$):
$f^{-1}(x) = \frac{-5x - 3}{2x - 1}$

Sekarang, substitusikan $x=1$ ke dalam $f^{-1}(x)$:
$f^{-1}(1) = \frac{-5(1) - 3}{2(1) - 1}$
$f^{-1}(1) = \frac{-5 - 3}{2 - 1}$
$f^{-1}(1) = \frac{-8}{1}$
$f^{-1}(1) = -8$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.