Diberikan kubus ABCD.EFGH, P titik tengah EG, Q titik

4 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik P ke bidang HAC pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu memahami posisi titik-titik tersebut dan sifat-sifat kubus.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
Koordinat titik-titik kubus dapat ditetapkan. Misalkan A=(0,0,0), B=(a,0,0), C=(a,a,0), D=(0,a,0), E=(0,0,a), F=(a,0,a), G=(a,a,a), H=(0,a,a).

P adalah titik tengah EG. Koordinat E=(0,0,a) dan G=(a,a,a). Maka P = ((0+a)/2, (0+a)/2, (a+a)/2) = (a/2, a/2, a).
Q adalah titik tengah AC. Koordinat A=(0,0,0) dan C=(a,a,0). Maka Q = ((0+a)/2, (0+a)/2, (0+0)/2) = (a/2, a/2, 0).

Bidang HAC dibentuk oleh titik H=(0,a,a), A=(0,0,0), dan C=(a,a,0).
Untuk mencari jarak titik P ke bidang HAC, kita perlu mencari vektor normal bidang HAC dan menggunakan rumus jarak titik ke bidang.

Vektor HA = A - H = (0,0,0) - (0,a,a) = (0, -a, -a).
Vektor HC = C - H = (a,a,0) - (0,a,a) = (a, 0, -a).

Vektor normal bidang (N) adalah hasil kali silang HA x HC:
N = HA x HC = det([[i, j, k], [0, -a, -a], [a, 0, -a]])
N = i((-a)(-a) - (-a)(0)) - j((0)(-a) - (-a)(a)) + k((0)(0) - (-a)(a))
N = i(a^2) - j(a^2) + k(a^2)
N = (a^2, -a^2, a^2) atau bisa disederhanakan menjadi (1, -1, 1).

Persamaan bidang HAC yang melalui titik A(0,0,0) dengan vektor normal (1, -1, 1) adalah:
1(x - 0) - 1(y - 0) + 1(z - 0) = 0
x - y + z = 0

Sekarang kita perlu menghitung jarak titik P(a/2, a/2, a) ke bidang x - y + z = 0.
Rumus jarak titik (x0, y0, z0) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Jarak = |1(a/2) - 1(a/2) + 1(a) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2 + 1^2)
Jarak = |a/2 - a/2 + a| / sqrt(1 + 1 + 1)
Jarak = |a| / sqrt(3)
Jarak = a / sqrt(3)

Diketahui HQ = 6√2 cm. Q adalah titik tengah AC. A=(0,0,0), C=(a,a,0). Q=(a/2, a/2, 0).
H=(0,a,a).
HQ = sqrt(((a/2)-0)^2 + ((a/2)-a)^2 + (0-a)^2)
HQ = sqrt((a/2)^2 + (-a/2)^2 + (-a)^2)
HQ = sqrt(a^2/4 + a^2/4 + a^2)
HQ = sqrt(a^2/2 + a^2)
HQ = sqrt(3a^2/2)
HQ = a * sqrt(3/2)
HQ = a * sqrt(6) / 2

Kita tahu HQ = 6√2.
Maka, a * sqrt(6) / 2 = 6√2
a * sqrt(3) / sqrt(2) = 6√2
a * sqrt(3) = 6√2 * √2
a * sqrt(3) = 12
a = 12 / sqrt(3)
a = 12√3 / 3
a = 4√3

Sekarang substitusikan nilai 'a' ke dalam rumus jarak P ke bidang HAC:
Jarak = a / sqrt(3)
Jarak = (4√3) / √3
Jarak = 4 cm.

Ada kemungkinan interpretasi lain dari "bidang HAC". Jika yang dimaksud adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal ruang dan rusuk, perlu klarifikasi. Namun, dengan asumsi HAC adalah bidang yang dibentuk oleh titik H, A, dan C:

Kesimpulan: Jarak P ke bidang HAC adalah 4 cm.