Buktikan identitas-identitas trigonometri berikut. a.

Identitas a terbukti dengan mengubah sisi kiri menjadi tan^2 a sec^2 b - tan^2 b sec^2 a, lalu menggunakan sec^2 x = 1 + tan^2 x. Identitas b terbukti dengan menyederhanakan sisi kiri menjadi 2 cos^2 b - 1, lalu menggunakan cos^2 b = 1 - sin^2 b.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri:

a. (sin^2 a - sin^2 b) / (cos^2 a cos^2 b) = tan^2 a - tan^2 b

Kita mulai dari sisi kiri:
(sin^2 a - sin^2 b) / (cos^2 a cos^2 b)

Kita bisa memisahkan pecahan ini menjadi dua bagian:
= sin^2 a / (cos^2 a cos^2 b) - sin^2 b / (cos^2 a cos^2 b)

Sekarang, kita bisa menggunakan identitas tan x = sin x / cos x:
= (sin^2 a / cos^2 a) * (1 / cos^2 b) - (sin^2 b / cos^2 b) * (1 / cos^2 a)
= tan^2 a * sec^2 b - tan^2 b * sec^2 a

Ini belum sama dengan yang di kanan. Mari kita coba cara lain.
Kita tahu bahwa sin^2 x = 1 - cos^2 x. Mari kita substitusikan ke pembilang:
( (1 - cos^2 a) - (1 - cos^2 b) ) / (cos^2 a cos^2 b)
= (1 - cos^2 a - 1 + cos^2 b) / (cos^2 a cos^2 b)
= (cos^2 b - cos^2 a) / (cos^2 a cos^2 b)

Sekarang, kita pisahkan lagi:
= cos^2 b / (cos^2 a cos^2 b) - cos^2 a / (cos^2 a cos^2 b)
= 1 / cos^2 a - 1 / cos^2 b

Menggunakan identitas sec x = 1 / cos x:
= sec^2 a - sec^2 b

Ini juga belum sama. Mari kita kembali ke langkah awal dan gunakan identitas tan x = sin x / cos x di sisi kanan.

Sisi kanan: tan^2 a - tan^2 b
= (sin^2 a / cos^2 a) - (sin^2 b / cos^2 b)
Samakan penyebutnya:
= (sin^2 a cos^2 b - sin^2 b cos^2 a) / (cos^2 a cos^2 b)

Sekarang, mari kita ubah pembilang agar sesuai dengan sisi kiri. Kita bisa menggunakan sin^2 x = 1 - cos^2 x.

Pembilang: sin^2 a cos^2 b - sin^2 b cos^2 a
= (1 - cos^2 a) cos^2 b - (1 - cos^2 b) cos^2 a
= cos^2 b - cos^2 a cos^2 b - (cos^2 a - cos^2 b cos^2 a)
= cos^2 b - cos^2 a cos^2 b - cos^2 a + cos^2 b cos^2 a
= cos^2 b - cos^2 a

Ini juga tidak sama. Mari kita coba substitusi sin^2 x = 1 - cos^2 x pada sisi kanan lagi, tapi dengan cara berbeda.

Sisi kanan: tan^2 a - tan^2 b
= (sin^2 a / cos^2 a) - (sin^2 b / cos^2 b)
= (sin^2 a (1 - sin^2 a)) / (cos^2 a (1 - sin^2 a)) - (sin^2 b (1 - sin^2 b)) / (cos^2 b (1 - sin^2 b)) <-- Ini salah.

Kembali ke pembuktian sisi kiri:
(sin^2 a - sin^2 b) / (cos^2 a cos^2 b)
= (sin^2 a / (cos^2 a cos^2 b)) - (sin^2 b / (cos^2 a cos^2 b))
= (sin^2 a / cos^2 a) * (1 / cos^2 b) - (sin^2 b / cos^2 b) * (1 / cos^2 a)
= tan^2 a sec^2 b - tan^2 b sec^2 a

Gunakan identitas sec^2 x = 1 + tan^2 x:
= tan^2 a (1 + tan^2 b) - tan^2 b (1 + tan^2 a)
= tan^2 a + tan^2 a tan^2 b - tan^2 b - tan^2 b tan^2 a
= tan^2 a - tan^2 b

Identitas a terbukti.

b. (2 - sec^2 b) / sec^2 b = (1 - 2 sin^2 b)

Kita mulai dari sisi kiri:
(2 - sec^2 b) / sec^2 b

Kita bisa memisahkan pecahan ini:
= 2 / sec^2 b - sec^2 b / sec^2 b

Menggunakan identitas cos b = 1 / sec b, maka 1 / sec^2 b = cos^2 b:
= 2 cos^2 b - 1

Sekarang kita gunakan identitas cos 2b = 2 cos^2 b - 1. Ini sudah terbukti jika b adalah 2b.
Namun, kita perlu membuktikannya dalam bentuk sin b.
Kita tahu bahwa cos^2 b = 1 - sin^2 b.
Substitusikan ini ke dalam hasil kita:
= 2 (1 - sin^2 b) - 1
= 2 - 2 sin^2 b - 1
= 1 - 2 sin^2 b

Ini sama dengan sisi kanan. Identitas b terbukti.