Buktikan bahwa (sin 9p-cos 6p-sin 3p)/(CoS 3p-sin 6p-cos

Identitas terbukti dengan menyederhanakan pembilang menjadi cos 6p (2 sin 3p - 1) dan penyebut menjadi sin 6p (2 sin 3p - 1), sehingga hasil akhirnya adalah cot 6p.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri (sin 9p - cos 6p - sin 3p) / (cos 3p - sin 6p - cos 9p) = cot 6p, kita dapat menggunakan rumus-rumus trigonometri untuk menyederhanakan kedua sisi persamaan.

Kita akan menyederhanakan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Pembilang: sin 9p - sin 3p - cos 6p
Gunakan rumus jumlah dan selisih sinus: sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
sin 9p - sin 3p = 2 cos((9p+3p)/2) sin((9p-3p)/2) = 2 cos(6p) sin(3p)
Jadi, pembilang = 2 cos(6p) sin(3p) - cos 6p
Faktorkan cos 6p: cos 6p (2 sin 3p - 1)

Penyebut: cos 3p - cos 9p - sin 6p
Gunakan rumus jumlah dan selisih kosinus: cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
cos 3p - cos 9p = -2 sin((3p+9p)/2) sin((3p-9p)/2) = -2 sin(6p) sin(-3p)
Karena sin(-x) = -sin(x), maka -2 sin(6p) sin(-3p) = -2 sin(6p) (-sin(3p)) = 2 sin(6p) sin(3p)
Jadi, penyebut = 2 sin(6p) sin(3p) - sin 6p
Faktorkan sin 6p: sin 6p (2 sin 3p - 1)

Sekarang kita gabungkan kembali pembilang dan penyebut:
(cos 6p (2 sin 3p - 1)) / (sin 6p (2 sin 3p - 1))

Jika (2 sin 3p - 1) tidak sama dengan nol, kita dapat membaginya:
cos 6p / sin 6p

Yang mana ini sama dengan cot 6p.

Oleh karena itu, identitas terbukti.