lim x->0 (x^2+sin^2 (3x))/(2tan(2x^2))=

Nilai limitnya adalah 5/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim x->0 (x^2 + sin^2(3x)) / (2 tan(2x^2))

Kita bisa memecah limit ini menjadi beberapa bagian:
lim x->0 [ (x^2) / (2 tan(2x^2)) + (sin^2(3x)) / (2 tan(2x^2)) ]

Mari kita evaluasi masing-masing bagian:

Bagian 1: lim x->0 (x^2) / (2 tan(2x^2))
Kita tahu bahwa lim u->0 (tan u) / u = 1. Oleh karena itu, lim u->0 u / (tan u) = 1.
Kita juga bisa menggunakan lim u->0 (sin u) / u = 1.

Untuk bagian ini, kita bisa manipulasi agar sesuai dengan bentuk standar:
lim x->0 (x^2) / (2 tan(2x^2))
= lim x->0 [ (x^2) / (2 * (sin(2x^2) / cos(2x^2))) ]
= lim x->0 [ (x^2 * cos(2x^2)) / (2 * sin(2x^2)) ]

Sekarang, kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x^2 (untuk suku sin(2x^2) yang mendekati 2x^2 ketika x mendekati 0):
= lim x->0 [ (cos(2x^2)) / (2 * (sin(2x^2) / x^2)) ]

Kita perlu bentuk sin(u)/u atau tan(u)/u. Mari kita gunakan bentuk tan(u)/u = 1.
lim x->0 (x^2) / (2 tan(2x^2))
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2x^2 agar sesuai dengan argumen tan:
= lim x->0 [ (x^2 * 2x^2) / (2 tan(2x^2) * 2x^2) ]
= lim x->0 [ (2x^4) / (2 * (tan(2x^2) / (2x^2)) * 2x^2) ]
= lim x->0 [ (2x^4) / (4x^2 * (tan(2x^2) / (2x^2))) ]
Ini menjadi rumit. Mari kita gunakan pendekatan yang lebih sederhana:
lim u->0 tan(u)/u = 1 dan lim u->0 sin(u)/u = 1.

lim x->0 (x^2) / (2 tan(2x^2))
= lim x->0 (x^2) / (2 * (sin(2x^2) / cos(2x^2)))
= lim x->0 (x^2 * cos(2x^2)) / (2 * sin(2x^2))
Bagi pembilang dan penyebut dengan x^2:
= lim x->0 [ (cos(2x^2)) / (2 * (sin(2x^2) / x^2)) ]
Agar sesuai dengan sin(u)/u, kita perlu (2x^2)/x^2 = 2 di penyebut:
= lim x->0 [ (cos(2x^2)) / (2 * 2 * (sin(2x^2) / (2x^2))) ]
= lim x->0 [ cos(2x^2) / (4 * (sin(2x^2) / (2x^2))) ]
Saat x->0, cos(2x^2) -> cos(0) = 1, dan sin(2x^2)/(2x^2) -> 1.
Jadi, bagian pertama = 1 / (4 * 1) = 1/4.

Bagian 2: lim x->0 (sin^2(3x)) / (2 tan(2x^2))
Kita bisa menuliskan ini sebagai:
lim x->0 [ (sin(3x) * sin(3x)) / (2 * tan(2x^2)) ]

Gunakan lim u->0 sin(u)/u = 1 dan lim u->0 tan(u)/u = 1.
Kita perlu memanipulasi agar sesuai:
= lim x->0 [ ( (sin(3x) / (3x)) * (sin(3x) / (3x)) * (3x) * (3x) ) / ( 2 * (tan(2x^2) / (2x^2)) * (2x^2) ) ]
= lim x->0 [ ( (sin(3x) / (3x))^2 * 9x^2 ) / ( 2 * (tan(2x^2) / (2x^2)) * 2x^2 ) ]
= lim x->0 [ (1^2 * 9x^2) / ( 2 * 1 * 2x^2 ) ]
= lim x->0 [ 9x^2 / 4x^2 ]
= 9/4

Sekarang, jumlahkan kedua bagian:
Total Limit = Bagian 1 + Bagian 2
Total Limit = 1/4 + 9/4
Total Limit = 10/4
Total Limit = 5/2

Jadi, nilai dari lim x->0 (x^2 + sin^2(3x)) / (2 tan(2x^2)) adalah 5/2.