Buktikan identitas trigonometri berikut.a. (2 sin^2

Identitas trigonometri a tidak dapat dibuktikan dengan bentuk yang diberikan, namun identitas b terbukti dengan manipulasi aljabar.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas trigonometri a. (2 sin^2 alpha-1)/(sin alpha-cos alpha)=tan alpha-cotan alpha:
Kita mulai dari sisi kiri:
(2 sin^2 alpha - 1) / (sin alpha - cos alpha)
Gunakan identitas sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1, sehingga 1 = sin^2 alpha + cos^2 alpha.
= (2 sin^2 alpha - (sin^2 alpha + cos^2 alpha)) / (sin alpha - cos alpha)
= (sin^2 alpha - cos^2 alpha) / (sin alpha - cos alpha)
Faktorkan pembilang sebagai selisih kuadrat: (sin alpha - cos alpha)(sin alpha + cos alpha)
= ((sin alpha - cos alpha)(sin alpha + cos alpha)) / (sin alpha - cos alpha)
= sin alpha + cos alpha
Sekarang kita ubah sisi kanan menjadi bentuk yang sama:
tan alpha - cotan alpha
= (sin alpha / cos alpha) - (cos alpha / sin alpha)
Samakan penyebutnya:
= (sin^2 alpha - cos^2 alpha) / (sin alpha cos alpha)
Karena sisi kiri disederhanakan menjadi sin alpha + cos alpha, dan sisi kanan menjadi (sin^2 alpha - cos^2 alpha) / (sin alpha cos alpha), ada kesalahan dalam soal atau langkah pembuktian ini. Mari kita coba cara lain atau cek ulang soalnya. Jika kita mengalikan (sin alpha + cos alpha) dengan (sin alpha - cos alpha), kita mendapatkan sin^2 alpha - cos^2 alpha. Jika kita mengalikan (sin alpha + cos alpha) dengan (sin alpha - cos alpha)/(sin alpha - cos alpha), kita akan mendapatkan sin alpha + cos alpha.

Mari kita coba membuktikan dari sisi kanan tan alpha - cotan alpha:
tan alpha - cotan alpha = (sin alpha / cos alpha) - (cos alpha / sin alpha) = (sin^2 alpha - cos^2 alpha) / (sin alpha cos alpha). 
Ini tidak sama dengan sin alpha + cos alpha secara langsung. Namun, jika kita perhatikan kembali sisi kiri: (2 sin^2 alpha - 1) / (sin alpha - cos alpha) = (sin^2 alpha - cos^2 alpha) / (sin alpha - cos alpha) = sin alpha + cos alpha. Ternyata ada kesalahan dalam soal yang diberikan untuk bagian a. Jika soalnya adalah membuktikan (sin^2 alpha - cos^2 alpha)/(sin alpha-cos alpha) = sin alpha + cos alpha, maka itu benar.

Untuk bagian b. (sec^2 alpha-sec alpha tan alpha)/(cos^2 alpha)=1/(cos^2 alpha(1+sin alpha)):
Kita mulai dari sisi kiri:
(sec^2 alpha - sec alpha tan alpha) / cos^2 alpha
Substitusikan sec alpha = 1/cos alpha dan tan alpha = sin alpha / cos alpha:
= ((1/cos^2 alpha) - (1/cos alpha)(sin alpha/cos alpha)) / cos^2 alpha
= ((1/cos^2 alpha) - (sin alpha/cos^2 alpha)) / cos^2 alpha
= ((1 - sin alpha) / cos^2 alpha) / cos^2 alpha
= (1 - sin alpha) / (cos^2 alpha * cos^2 alpha)
= (1 - sin alpha) / cos^4 alpha

Sekarang kita lihat sisi kanan:
1 / (cos^2 alpha (1 + sin alpha))
Untuk menyamakan kedua sisi, mari kita kalikan sisi kanan dengan (1-sin alpha)/(1-sin alpha):
= (1 * (1 - sin alpha)) / (cos^2 alpha * (1 + sin alpha) * (1 - sin alpha))
= (1 - sin alpha) / (cos^2 alpha * (1 - sin^2 alpha))
Gunakan identitas sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1, sehingga 1 - sin^2 alpha = cos^2 alpha:
= (1 - sin alpha) / (cos^2 alpha * cos^2 alpha)
= (1 - sin alpha) / cos^4 alpha
Karena sisi kiri dan sisi kanan sama, maka identitas trigonometri b terbukti.