Buktikan jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n

Pembuktian menggunakan induksi matematika menunjukkan bahwa pernyataan 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

Kita akan membuktikan pernyataan bahwa jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2 menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 1 adalah 1.
Menggunakan rumus: 1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 2/2 = 1.
Karena kedua hasil sama, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1, berdasarkan hipotesis induksi. Artinya, kita perlu membuktikan bahwa:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)((k+1)+1)/2
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2

Mulai dari sisi kiri persamaan dan gunakan hipotesis induksi:
(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1)
= [k(k+1)/2] + (k+1)   (menggunakan hipotesis induksi)

Sekarang, kita samakan penyebutnya:
= k(k+1)/2 + 2(k+1)/2
= [k(k+1) + 2(k+1)] / 2

Faktorkan (k+1) dari pembilang:
= (k+1)(k + 2) / 2

Ini sama dengan sisi kanan dari persamaan yang ingin kita buktikan.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi), dan jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1 (langkah induksi), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2 untuk semua bilangan bulat positif n.