Buktikan kebenaran setiap deret berikut. 2 + 5 + 8 + (3n-1)

Deret terbukti benar menggunakan prinsip induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan kebenaran deret 2 + 5 + 8 + (3n-1) = n(3n + 1)/2, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n=1, sisi kiri deret adalah 2. Sisi kanan deret adalah 1(3(1) + 1)/2 = 1(4)/2 = 2. Karena kedua sisi sama, basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan deret benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu 2 + 5 + 8 + ... + (3k-1) = k(3k + 1)/2.

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa deret juga benar untuk n = k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
2 + 5 + 8 + ... + (3k-1) + (3(k+1)-1) = (k+1)(3(k+1) + 1)/2

Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 2 + 5 + 8 + ... + (3k-1) = k(3k + 1)/2. Jadi, kita bisa menulis:
[k(3k + 1)/2] + (3(k+1)-1) = (k+1)(3(k+1) + 1)/2

Sekarang, kita sederhanakan kedua sisi persamaan:
Sisi kiri:
k(3k + 1)/2 + (3k + 3 - 1)
= (3k^2 + k)/2 + (3k + 2)
= (3k^2 + k + 2(3k + 2))/2
= (3k^2 + k + 6k + 4)/2
= (3k^2 + 7k + 4)/2

Sisi kanan:
(k+1)(3k + 3 + 1)/2
= (k+1)(3k + 4)/2
= (3k^2 + 4k + 3k + 4)/2
= (3k^2 + 7k + 4)/2

Karena kedua sisi sama, maka deret tersebut terbukti benar untuk n = k+1.

Kesimpulan: Berdasarkan prinsip induksi matematika, deret 2 + 5 + 8 + (3n-1) = n(3n + 1)/2 benar untuk semua bilangan bulat positif n.